Question

7．若把一組鄰邊的平方和與一條對角線的平方相等的四邊形叫做勾股四邊形，則矩形、直角梯形都是勾股四邊形．如圖，將△ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△DBE，且∠BCD=30°．
（1）求證：四邊形ABCD是勾股四邊形；
（2）若BC=6，CD=8，求DE的長．

Answer 1

分析 （1）欲證明DC²+BC²=AC²，只需證明∠DCE=90°．
（2）由DC²+BC²=AC²，求出AC，即可得出DE的長．

解答 （1）證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：△ABC≌△DBE，
∴AC=DE，BC=BE，
∵∠CBE=60°，
∴EC=BC=BE，即△BCE是等邊三角形，
∴∠BCE=60°，
∵∠DCB=30°，
∴∠DCE=90°，
∴DC²+EC²=DE²，
∴DC²+BC²=AC²．
即四邊形ABCD是勾股四邊形．
（2）解：由（1）得：DC²+BC²=AC²，DE=AC，
∴DE=AC=$\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}$=10．

點評 本題考查了勾股定理、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理；熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，證明∠DCE=90°是解決問題的關(guān)鍵．