Question

已知a、b、c是Rt△ABC三邊的長，a＜b＜c，
（1）求證：關于x的方程a(1-x2)-2

2

bx+c(1+x2)=0有兩個不相等的實數根；
（2）若c=3a，x₁，x₂是這個方程的兩根，求x₁²+x₂²的值．

Answer 1

分析：（1）要證明方程有兩個不相等的實數根，即證明△＞0即可，（2）根據方程的兩個實數根為x₁和x₂，寫出兩根之和和兩根之積，即可求出x₁²+x₂²的值．

解答：解：（1）把方程a(1-x2)-2

2

bx+c(1+x2)=0化成一般形式為（c-a）x²-2

2

bx+a+c=0，
故方程根的判別式△=8b²-4a²+4c²，
∵a、b、c是Rt△ABC三邊的長，
∵a＜b＜c，
∴△=8b²-4a²+4c²＞0，
∴方程a(1-x2)-2

2

bx+c(1+x2)=0有兩個不相等的實數根；

（2）∵x₁+x₂=

2 2 b

c-a

，x₁•x₂=

a+c

c-a

，
∵c=3a，
∴x₁+x₂=

2 b

a

，x₁•x₂=2，
∴x₁²+x₂²=

2b2

a2

-4．

點評：本題主要考查了一元二次方程根與系數的關系和根的判別式的知識點，熟練掌握若x₁，x₂是方程x²+px+q=0的兩根時，x₁+x₂=-p，x₁x₂=q，方程總有兩個實數根，則一元二次方程根的判別式△＞0恒成立．