Question

如圖所示，已知AB為⊙O的直徑，C、D是直徑AB同側(cè)圓周上兩點(diǎn)，且弧CD=弧BD，過(guò)D作DE⊥AC于點(diǎn)E，求證：DE是⊙O的切線(xiàn)．

Answer 1

分析：連接OD與BC，交于F點(diǎn)，由弧CD與弧BD相等，利用垂徑定理的逆定理得到OD與BC垂直，由垂直的定義得到一個(gè)角為直角，再由直徑所對(duì)的圓周角為直角得到一個(gè)直角，由同位角相等兩直線(xiàn)平行得到AE與OD平行，再由兩直線(xiàn)平行同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)可得出一對(duì)角互補(bǔ)，由AE與ED垂直得到一個(gè)角為直角，可得出DE與OD垂直，進(jìn)而得到DE為圓O的切線(xiàn)．

解答：證明：連接OD，BC，交于點(diǎn)F，如圖所示：
∵

CD

=

BD

，OD為圓O的半徑，
∴OD⊥BC，
∴∠OFB=90°，
∵AB為圓O的直徑，
∴∠ACB=∠OFB=90°，
∴AE∥OD，
∴∠ODE+∠AED=180°，
又AE⊥ED，∴∠AED=90°，
∴∠ODE=90°，
∴DE⊥OD，
則DE為圓O的切線(xiàn)．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線(xiàn)的判定，涉及的知識(shí)有：垂徑定理的逆定理，以及平行線(xiàn)的判定與性質(zhì)，切線(xiàn)的判定方法有兩種：有點(diǎn)連接證垂直；無(wú)點(diǎn)作垂線(xiàn)，證明垂線(xiàn)段等于半徑．