Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2﹣5ax+4a與x軸交于A、B（A點(diǎn)在B點(diǎn)的左側(cè)）與y軸交于點(diǎn)C．

（1）如圖1，連接AC、BC，若△ABC的面積為3時(shí)，求拋物線的解析式；
（2）如圖2，點(diǎn)P為第四象限拋物線上一點(diǎn)，連接PC，若∠BCP=2∠ABC時(shí)，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；
（3）如圖3，在（2）的條件下，點(diǎn)F在AP上，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥x軸于H點(diǎn)，點(diǎn)K在PH的延長(zhǎng)線上，AK=KF，∠KAH=∠FKH，PF=﹣4 a，連接KB并延長(zhǎng)交拋物線于點(diǎn)Q，求PQ的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：當(dāng)y=0時(shí)，ax2﹣5ax+4a=0，解得x1=1，x2=4，則A（1，0），B（4，0），

∴AB=3，

∵△ABC的面積為3，

∴ 4OC=3，解得OC=2，則C（0，﹣2），

把C（0，﹣2）代入y=ax2﹣5ax+4a得4a=﹣2，解得a=﹣ ，

∴拋物線的解析式為y=﹣ x2+ x﹣2

（2）

解：過(guò)點(diǎn)P作PH⊥x軸于H，作CD⊥PH于點(diǎn)H，如圖2，設(shè)P（x，ax2﹣5ax+4a），則PD=4a﹣（ax2﹣5ax+4a）=﹣ax2+5ax，

∵AB∥CD，

∴∠ABC=∠BCD，

∵∠BCP=2∠ABC，

∴∠PCD=∠ABC，

∴Rt△PCD∽R(shí)t△CBO，

∴PD：OC=CD：OB，

即（﹣ax2+5ax）：（﹣4a）=x：4，解得x1=0，x2=6，

∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為6

（3）

解：過(guò)點(diǎn)F作FG⊥PK于點(diǎn)G，如圖3，

∵AK=FK，

∴∠KAF=∠KFA，

而∠KAF=∠KAH+∠PAH，∠KFA=∠PKF+∠KPF，

∵∠KAH=∠FKP，

∴∠HAP=∠KPA，

∴HA=HP，

∴△AHP為等腰直角三角形，

∵P（6，10a），

∴﹣10a=6﹣1，解得a=﹣ ，

在Rt△PFG中，∵PF=﹣4 a=2 ，∠FPG=45°，

∴FG=PG= PF=2，

在△AKH和△KFG中

，

∴△AKH≌△KFG，

∴KH=FG=2，

∴K（6，2），

設(shè)直線KB的解析式為y=mx+n，

把K（6，2），B（4，0）代入得 ，

解得 ，

∴直線KB的解析式為y=x﹣4，

當(dāng)a=﹣ 時(shí)，拋物線的解析式為y=﹣ x2+ x﹣2，

解方程組 ，

解得 或 ，

∴Q（﹣1，﹣5），

而P（6，﹣5），

∴PQ∥x 軸，

∴QP=7．

【解析】（1）通過(guò)解方程ax2﹣5ax+4a=0可得到A（1，0），B（4，0），然后利用三角形面積公式求出OC得到C點(diǎn)坐標(biāo)，再把C點(diǎn)坐標(biāo)代入y=ax2﹣5ax+4a中求出a即可得到拋物線的解析式；（2）過(guò)點(diǎn)P作PH⊥x軸于H，作CD⊥PH于點(diǎn)H，如圖2，設(shè)P（x，ax2﹣5ax+4a），則PD=﹣ax2+5ax，通過(guò)證明Rt△PCD∽R(shí)t△CBO，利用相似比可得到（﹣ax2+5ax）：（﹣4a）=x：4，然后解方程求出x即可得到點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；（3）過(guò)點(diǎn)F作FG⊥PK于點(diǎn)G，如圖3，先證明∠HAP=∠KPA得到HA=HP，由于P（6，10a），則可得到﹣10a=6﹣1，解得a=﹣ ，再判斷Rt△PFG單位等腰直角三角形得到FG=PG= PF=2，接著證明△AKH≌△KFG，得到KH=FG=2，則K（6，2），然后利用待定系數(shù)法求出直線KB的解析式為y=x﹣4，再通過(guò)解方程組 得到Q（﹣1，﹣5），利用P、Q點(diǎn)的坐標(biāo)可判斷PQ∥x 軸，于是可得到QP=7．