Question

17．已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過點A（-1，-1）和點B（1，-3）．求：
（1）直接寫出一次函數(shù)的表達(dá)式y(tǒng)=-x-2；
（2）直接寫出直線AB與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積2；
（3）請在x軸上找到一點P，使得PA+PB最小，并求出P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）把A、B兩點代入可求得k、b的值，可得到一次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）分別令y=0、x=0可求得直線與兩坐標(biāo)軸的兩交點坐標(biāo)，可求得所圍成的三角形的面積；
（3）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，找到點A關(guān)于x的對稱點A′，連接BA′，則BA′與x軸的交點即為點P的位置，求出直線BA′的解析式，可得出點P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過點A（-1，-1）和點B（1，-3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=-1}\\{k+b=-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴一次函數(shù)為y=-x-2； 

（2）在y=-x-2中，分別令x=0、y=0，
可求得一次函數(shù)與兩坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)分別為（0，-2）、（-2，0），
∴直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為：S=$\frac{1}{2}$×2×2=2；

（3）作點A關(guān)于x軸的對稱點A′，連接BA′與x軸 的交點即為點P．
設(shè)直線BA′的解析式為y=mx+n，
將點A′（-1，1）和點B（1，-3）代入可得：
$\left\{\begin{array}{l}{-m+n=1}\\{m+n=-3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-2}\\{n=-1}\end{array}\right.$．
故直線BA′的解析式為y=-2x-1，
令y=0，可得-2x-1=0，
解得：x=-$\frac{1}{2}$，
故點P的坐標(biāo)為（-$\frac{1}{2}$，0）．
故答案為y=-x-2；2．

點評 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，軸對稱-最短路線問題，掌握待定系數(shù)法的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．