Question

如圖，菱形ABCD中，AB=4，∠A=120°，點M、N、P分別為線段AB、AD、BD上的任意一點，則PM+PN的最小值為

2

3

．

Answer 1

分析：先根據(jù)四邊形ABCD是菱形可知，AD∥BC，由∠A=120°可知∠ABC=60°，作點N關(guān)于直線BD的對稱點N′，連接N′M，N′N，則N′M的長即為PM+PN的最小值，由圖可知，當點A與點N重合，CM⊥AB時PM+PN的值最小，再在Rt△BCM中利用銳角三角函數(shù)的定義求出MC的長即可．

解答：解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∵∠A=120°，
∴∠ABC=180°-∠DAB=180°-120°=60°，
作點N關(guān)于直線BD的對稱點N′，連接N′M，N′N，則N′M的長即為PM+PN的最小值，由圖可知，
當點A與點N重合，MN′⊥AB時PM+PN的值最小，
在Rt△BCM中，
∵BC=AB=4，∠ABC=60°，
∴CM=BC•sin∠ABC=4×

3

2

=2

3

．
故答案為：2

3

．

點評：本題考查的是軸對稱-最短路線問題及菱形的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．