Question

8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，3），點(diǎn)B在x軸上，△AOB的面積是3．
（1）求過點(diǎn)A、O、B的拋物線的解析式；
（2）在（2）中拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)C，使△AOC的周長最�。咳舸嬖�，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由； 
（3）拋物線的對稱軸與x軸交于點(diǎn)D，在拋物線上是否存在點(diǎn)P使得以A，B，D，P為頂點(diǎn)的四邊形是梯形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角形的面積，可得B點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)函數(shù)值相等兩點(diǎn)關(guān)于對稱軸對稱，可得B與O的關(guān)系，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，可得AB與對稱軸的交點(diǎn)，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可得C點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）分類討論：①當(dāng)AD∥BP時(shí)，②當(dāng)AD∥BP時(shí)，③當(dāng)AB∥DP時(shí)，根據(jù)聯(lián)立直線與拋物線，可得方程組，根據(jù)解方程組，可得答案．

解答 解：（1）如圖1，
由△AOB的面積是3，得
S_△AOB=$\frac{1}{2}$|OB|y_A=3，
即$\frac{1}{2}$|OB|×3=3，
解得OB|=2，
B（-2，0）．
設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，將A、B、O的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b+c=0}\\{c=0}\\{a+b+c=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
拋物線的解析式為y=x²+2x；
（2）如圖2，拋物線的解析式為y=x²+2x的對稱軸是x=-1，
由兩點(diǎn)之間線段最短，得AC+CO=AB，
直線AB與對稱軸的交點(diǎn)，即為C點(diǎn)，
設(shè)AB的解析式為y=kx+b，將A，B點(diǎn)坐標(biāo)代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{k+b=3}\\{-2k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
AB的解析式為y=x+2．
當(dāng)x=-1時(shí)，y=-1+2=1，
即C（-1，1）；
（3）①當(dāng)AD∥BP時(shí)，P點(diǎn)與A點(diǎn)關(guān)于x=-1對稱，
P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-1-[1-（-1）]=-3，P點(diǎn)的縱坐標(biāo)與A點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，
P₁（-3，3）；
②當(dāng)AD∥BP時(shí)，AD的解析式為y=$\frac{3}{2}$x+$\frac{3}{2}$，
設(shè)BP的解析式為y=$\frac{3}{2}$x+b，將B（-2，0）代入函數(shù)解析式，解得b=3，
BP的解析式為y=$\frac{3}{2}$x+3，
聯(lián)立BP與拋物線，得
$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}+2x}\\{y=\frac{3}{2}x+3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-2}\\{{y}_{1}=0}\end{array}\right.$（不符合題意，舍），$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{3}{2}}\\{{y}_{2}=\frac{21}{4}}\end{array}\right.$，
即P₂（$\frac{3}{2}$，$\frac{21}{4}$）；
③如圖3，
當(dāng)AB∥DP時(shí)，AB的解析式為y=x+2，設(shè)DP的解析式為y=x+b，將D（-1，0）代入，得
b=1，即DP的解析式為y=x+1．
聯(lián)立DP與拋物線，得
$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}+2x}\\{y=x+1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}}\\{{y}_{1}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}\\{{y}_{2}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}}\end{array}\right.$，
即P₃（$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$，$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$），P₄（$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$），
綜上所述：P₁（-3，3）；P₂（$\frac{3}{2}$，$\frac{21}{4}$）；P₃（$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$，$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$），P₄（$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$）．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；利用兩點(diǎn)之間線段最短得出AB與對稱軸的交點(diǎn)是解題關(guān)鍵；利用了梯形的定義，解方程組是求P點(diǎn)的關(guān)鍵，要分類討論，以防遺漏．