Question

15．如圖，已知，在△ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿AB以4cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)，沿CA以每秒3cm的速度向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒．
（1）當(dāng)x為何值時(shí)，PQ∥BC；
（2）S_△BCQ：S_△ABC=1：3時(shí)，求S_△BPQ：S_△ABC的值；
（3）在現(xiàn)有條件下，哪些邊對(duì)應(yīng)成比例就能使△APQ與△CQB相似？并寫出對(duì)應(yīng)成比例的邊．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)PQ∥BC時(shí)，根據(jù)平行線分線段成比例定理，可得出關(guān)于AP，PQ，AB，AC的比例關(guān)系式，我們可根據(jù)P，Q的速度，用時(shí)間x表示出AP，AQ，然后根據(jù)得出的關(guān)系式求出x的值．
（2）由三角形的面積關(guān)系得出CQ：AC=1：3，那么CQ=10cm，此時(shí)時(shí)間x正好是（1）的結(jié)果，那么此時(shí)PQ∥BC，由此可根據(jù)平行這個(gè)特殊條件，得出三角形APQ和ABC的面積比，然后再根據(jù)三角形PBQ的面積=三角形ABC的面積-三角形APQ的面積-三角形BQC的面積來得出三角形BPQ和三角形ABC的面積比．
（3）分兩種情況進(jìn)行討論．由等腰三角形的性質(zhì)得出∠A和∠C對(duì)應(yīng)相等，那么就要分成AP和CQ對(duì)應(yīng)成比例以及AP和BC對(duì)應(yīng)成比例兩種情況．

解答 解：（1）當(dāng)PQ∥BC時(shí)，AP：AB=AQ：AC，
∵AP=4x，AQ=30-3x，
∴$\frac{4x}{20}$=$\frac{30-2x}{30}$，
解得：x=$\frac{10}{3}$；
即當(dāng)x=$\frac{10}{3}$，PQ∥BC；
（2）∵S_△BCQ：S_△ABC=1：3
∴CQ：AC=1：3，
∴CQ=10c，
∴時(shí)間用了$\frac{10}{3}$秒，
∴AP=$\frac{40}{3}$cm，
∵由（1）知，此時(shí)PQ∥BC，
∴△APQ∽△ABC，相似比為$\frac{2}{3}$，
∴S_△APQ：S_△ABC=4：9，
∴四邊形PQCB與三角形ABC面積比為5：9，即S_{四邊形PQCB}=，$\frac{5}{9}$S_△ABC，
又∵S_△BCQ：S_△ABC=1：3，即S_△BCQ=$\frac{1}{3}$S_△ABC，
∴S_△BPQ=S_{四邊形PQCB}-S_△BCQ═$\frac{5}{9}$S_△ABC-$\frac{1}{3}$S_△ABC=$\frac{2}{9}$S_△ABC，
∴S_△BPQ：S_△ABC=2：9=$\frac{2}{9}$；
（3）∵BA=BC，
∴∠A=∠C，
當(dāng)AP：CQ=AQ：BC，△APQ∽△CQB；
當(dāng)AQ：CQ=AP：BC，△APQ∽△CBQ；
∴對(duì)應(yīng)成比例的邊為$\frac{AP}{CQ}=\frac{AQ}{BC}$或$\frac{AQ}{CQ}=\frac{AP}{BC}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是相似形綜合題目，主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、平行線分線段成比例定理；根據(jù)三角形相似得出線段比或面積比是解題的關(guān)鍵．