Question

7．如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（-6，0），B（2，0）．
（1）請用含a的式子表示c；
（2）若拋物線與y軸交于點(diǎn)C（0，4），求該拋物線的解析式；
（3）連接BC，在（2）的基礎(chǔ)上，D為拋物線上的一點(diǎn)，連接OD，若∠DOC=∠ABC，求點(diǎn)D的橫坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）把A和B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式，消去b即可求得a和c的關(guān)系；
（2）利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)的解析式；
（3）設(shè)D的橫坐標(biāo)是m，則縱坐標(biāo)是-$\frac{1}{3}$m²-$\frac{4}{3}$m+4．過D作DE⊥y軸于點(diǎn)E．則△DOE∽△CBO，利用相似三角形的對應(yīng)邊的比相等即可列方程求解．

解答 解：（1）根據(jù)題意得：$\left\{\begin{array}{l}{36a-6b+c=0…①}\\{4a+2b+c=0…②}\end{array}\right.$，
①+②×3得：48a+4c=0，
即c=-12a；
（2）根據(jù)題意得：$\left\{\begin{array}{l}{36a-6b+c=0}\\{4a+2b+c=0}\\{c=4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{3}}\\{b=-\frac{4}{3}}\\{c=4}\end{array}\right.$，
則拋物線的解析式是y=-$\frac{1}{3}$x²-$\frac{4}{3}$x+4；
（3）設(shè)D的橫坐標(biāo)是m，則縱坐標(biāo)是-$\frac{1}{3}$m²-$\frac{4}{3}$m+4．
過D作DE⊥y軸于點(diǎn)E．
當(dāng)m＜0時，DE=-m，OE=-$\frac{1}{3}$m²-$\frac{4}{3}$m+4．
∵∠DEO=∠COB=90°，∠DOC=∠OBC，
∴△DOE∽△CBO，
∴$\frac{DE}{OC}$=$\frac{OE}{OB}$，即$\frac{-m}{4}$=$\frac{-\frac{1}{3}{m}^{2}-\frac{4}{3}m+4}{2}$，
解得：m=$\frac{-5-\sqrt{217}}{4}$或$\frac{-5+\sqrt{217}}{4}$（舍去）．
當(dāng)m＞0時，DE=m，OE=-$\frac{1}{3}$m²-$\frac{4}{3}$m+4．
則$\frac{m}{4}$=$\frac{-\frac{1}{3}{m}^{2}-\frac{4}{3}m+4}{2}$，
解得：m=$\frac{-11+\sqrt{313}}{4}$或$\frac{-11-\sqrt{313}}{4}$（舍去）．
總之，m的值是$\frac{-5-\sqrt{217}}{4}$或$\frac{-11+\sqrt{313}}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式以及相似三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線構(gòu)造相似三角形是關(guān)鍵．