Question

10．對(duì)于每個(gè)非零自然數(shù)n，一元二次方程${x^2}-\frac{2n+1}{n（n+1）}x+\frac{1}{n（n+1）}=0$的兩個(gè)根在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A_n，B_n，以A_nB_n表示這兩點(diǎn)間的距離，則A₁B₁+A₂B₂+…+A₂₀₁₅B₂₀₁₅的值是$\frac{2015}{2016}$．

Answer 1

分析 首先求出拋物線與x軸兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，然后由題意得到A_nB_n=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，進(jìn)而求出A₁B₁+A₂B₂+…+A₂₀₁₅B₂₀₁₅的值．

解答 解：令y=${x^2}-\frac{2n+1}{n（n+1）}x+\frac{1}{n（n+1）}=0$，
∴解得x=$\frac{1}{n}$，或x=$\frac{1}{n+1}$，
∴拋物線y=x²-$\frac{2n+1}{n（n+1）}$x+$\frac{1}{n（n+1）}$與x軸的交點(diǎn)為（$\frac{1}{n}$，0），（$\frac{1}{n+1}$，0），
∴A_nB_n=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴A₁B₁+A₂B₂+…+A₂₀₁₅B₂₀₁₅=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2015}$-$\frac{1}{2016}$=1-$\frac{1}{2016}$=$\frac{2015}{2016}$，
故答案為：$\frac{2015}{2016}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了拋物線與x軸交點(diǎn)的知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是用n表示出拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，此題難度不大．