Question

已知拋物線y=x2﹣（k+2）x+和直線y=（k+1）x+（k+1）2．

（1）求證：無論k取何實數(shù)值，拋物線總與x軸有兩個不同的交點；

（2）拋物線于x軸交于點A、B，直線與x軸交于點C，設(shè)A、B、C三點的橫坐標(biāo)分別是x1、x2、x3，求x1•x2•x3的最大值；

（3）如果拋物線與x軸的交點A、B在原點的右邊，直線與x軸的交點C在原點的左邊，又拋物線、直線分別交y軸于點D、E，直線AD交直線CE于點G（如圖），且CA•GE=CG•AB，求拋物線的解析式．

 

 

Answer 1

（1）證明見解析；（2）；（3）y=x2﹣4x+3．

【解析】

試題分析：（1）由判別式△=（k+2）2﹣4×1×=k2﹣k+2=（k﹣）2+＞0，即可證得無論k取何實數(shù)值，拋物線總與x軸有兩個不同的交點；

（2）由拋物線于x軸交于點A、B，直線與x軸交于點C，設(shè)A、B、C三點的橫坐標(biāo)分別是x1、x2、x3，可得x1•x2=，x3=﹣（k+1），繼而可求得答案；

（3）由CA•GE=CG•AB，易得△CAG∽△CBE，繼而可證得△OAD∽△OBE，則可得，又由拋物線與x軸的交點A、B在原點的右邊，直線與x軸的交點C在原點的左邊，又拋物線、直線分別交y軸于點D、E，可得OA•OB=，OD=，OE=（k+1）2，繼而求得點B的坐標(biāo)為（0，k+1），代入解析式即可求得答案．

試題解析：（1）證明：∵△=（k+2）2﹣4×1×=k2﹣k+2=（k﹣）2+，

∵（k﹣）2≥0，

∴△＞0，

∴無論k取何實數(shù)值，拋物線總與x軸有兩個不同的交點；

（2）【解析】
∵拋物線于x軸交于點A、B，直線與x軸交于點C，設(shè)A、B、C三點的橫坐標(biāo)分別是x1、x2、x3，

∴x1•x2=，

令0=（k+1）x+（k+1）2，

解得：x=﹣（k+1），

即x3=﹣（k+1），

∴x1•x2•x3=﹣（k+1）•=﹣（k+）2+，

∴x1•x2•x3的最大值為；

（3）【解析】
∵CA•GE=CG•AB，

∴，

∵∠ACG=∠BCE，

∴△CAG∽△CBE，

∴∠CAG=∠CBE，

∵∠AOD=∠BOE，

∴△OAD∽△OBE，

∴，

∵拋物線與x軸的交點A、B在原點的右邊，直線與x軸的交點C在原點的左邊，又拋物線、直線分別交y軸于點D、E，

∴OA•OB=，OD=，OE=（k+1）2，

∴OA•OB=OD，

∴，

∴OB2=OE，

∴OB=k+1，

∴點B（k+1，0），

將點B代入拋物線y=x2﹣（k+2）x+得：（k+1）2﹣（k+2）（k+1）﹣=0，

解得：k=2，

∴拋物線的解析式為：y=x2﹣4x+3．

考點：二次函數(shù)綜合題