Question

已知：關(guān)于x的一元二次方程mx²-（4m+1）x+3m+3=0 （m＞1）．
（1）求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x₁，x₂（其中x₁＞x₂），若y是關(guān)于m的函數(shù)，且y=x₁-3x₂，求這個(gè)函數(shù)的解析式；
（3）將（2）中所得的函數(shù)的圖象在直線m=2的左側(cè)部分沿直線m=2翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個(gè)新的圖象．請(qǐng)你結(jié)合這個(gè)新的圖象回答：當(dāng)關(guān)于m的函數(shù)y=2m+b的圖象與此圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，b的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）列式表示出根的判別式△，再根據(jù)△＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根證明；
（2）利用求根公式法求出x₁、x₂，然后代入關(guān)系式整理即可得解；
（3）作出函數(shù)圖象，然后求出m=2時(shí)的函數(shù)值與以及m=1時(shí)的翻折圖象的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，再代入直線解析式求出b值，然后結(jié)合圖形寫出b的取值范圍即可．

解答：（1）證明：△=（4m+1）²-4m（3m+3）=4m²-4m+1=（2m-1）²，
∵m＞1，
∴（2m-1）²＞0，
∴方程有兩個(gè)不等實(shí)根；

（2）解：x=

4m+1± (2m-1)2

2m

，
∴兩根分別為

4m+1+2m-1

2m

=3，

4m+1-2m+1

2m

=1+

1

m

，
∵m＞1，
∴0＜

1

m

＜1，
∴1＜1+

1

m

＜2，
∵x₁＞x₂，
∴x₁=3，x₂=1+

1

m

，
∴y=x₁-3x₂，
=3-3（1+

1

m

），
=-

3

m

，
所以，這個(gè)函數(shù)解析式為y=-

3

m

（m＞1）；

（3）解：作出函數(shù)y=-

3

m

（m＞1）的圖象，并將圖象在直線m=2左側(cè)部分沿此直線翻折，所得新圖形如圖所示，
m=2時(shí)，y=-

3

2

，
m=1時(shí)，y=-

3

1

=-3，
∴函數(shù)圖象直線m=2左側(cè)部分翻折后的兩端點(diǎn)坐標(biāo)為（3，-3），（2，-

3

2

），
當(dāng)m=3時(shí)，2×3+b=-3，
解得b=-9，
當(dāng)m=2時(shí)，2×2+b=-

3

2

，
解得b=-

11

2

，
所以，此圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，b的取值范圍-9＜b＜-

11

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題是一次函數(shù)綜合題型，主要利用了根的判別式，求根公式法解一元二次方程，一次函數(shù)與反比例函數(shù)交點(diǎn)問題，難點(diǎn)在于（3）確定出翻折部分的兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)以及有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)的b的取值范圍，作出圖形更形象直觀．