Question

如圖所示，等腰△ABC中，P為底邊BC上任意一點，過P作兩腰的平行線分別與AB、AC相交于Q、R兩點，又P′是P關(guān)于直線RQ的對稱點．證明：△P′QB∽△P′RC．

Answer 1

【答案】分析：連P′B，P′C，P′Q，P′R，P′P，由PQ∥AC，AB=AC，得到QP=QB，再根據(jù)對稱的性質(zhì)得到QP=QP′，于是Q點為△P′PB的外心，同理可得R為△P′PC的外心；根據(jù)圓周角定理和鄰補(bǔ)角得到∠P′QB=2∠P′PB=360°-2∠P′PC，根據(jù)由半徑組成的三角形為等腰三角形，得到∠P′PR=∠PP′R，∠RPC=∠PCR，則∠P′QB=360°-∠P′PC-∠PP′R-∠PCR=∠P′RC，即可得到兩等腰△QPP′和△RP′C相似．
解答：解：如圖，連P′B，P′C，P′Q，P′R，P′P，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵PQ∥AC，
∴∠QPB=∠ACB，
∴∠QPB=∠QBC，
∴QP=QB，
又∵P′是P關(guān)于直線RQ的對稱點，
∴QP=QP′，即QP=QP′=QB，
∴Q點為△P′PB的外心，
同理可得R為△P′PC的外心，
∴∠P′QB=2∠P′PB
=2（180°-∠P′PC）
=360°-2∠P′PC，
由∠P′PR=∠PP′R，∠RPC=∠PCR，
∴∠P′QB=360°-∠P′PC-∠PP′R-∠PCR
=∠P′RC，
∵QP′=QB，RP′=RC，
∴△P′QB∽△P′RC．
點評：本題考查了等腰三角形相似的判定方法：頂角對應(yīng)相等的兩等腰三角形相似．也考查了對稱的性質(zhì)以及三角形外心的判定與性質(zhì)．