Question

（2013•沐川縣二模）如圖，點(diǎn)A₁，A₂，A₃，A₄，…，A_n在射線OA上，點(diǎn)B₁，B₂，B₃，…，B_n-1在射線OB上，且A₁B₁∥A₂B₂∥A₃B₃∥…∥A_n-1B_n-1，A₂B₁∥A₃B₂∥A₄B₃∥…∥A_nB_n-1，△A₁A₂B₁，△A₂A₃B₂，…，△A_n-1A_nB_n-1為陰影三角形，若△A₂B₁B₂，△A₃B₂B₃的面積分別為1、4，則△A₁A₂B₁的面積為

1

2

；面積小于2011的陰影三角形共有

6

個(gè)．

Answer 1

分析：根據(jù)面積比等于相似比的平方，可得出

A2B1

A3B2

=

1

2

，

A2B2

A3B3

=

1

2

，再由平行線的性質(zhì)可得出

A2B1

A3B2

=

OB1

OB2

=

1

2

，

A2B2

A3B3

=

OB2

OB3

=

1

2

，從而可推出相鄰兩個(gè)陰影部分的相似比為1：2，面積比為1：4，先利用等底三角形的面積之比等于高之比可求出第一個(gè)及第二個(gè)陰影部分的面積，再由相似比為1：2可求出面積小于2011的陰影部分的個(gè)數(shù)．

解答：解：由題意得，△A₂B₁B₂∽△A₃B₂B₃，
∴

A2B1

A3B2

=

S△A2B1B2 S△A3B2B3

=

1

2

，

A2B2

A3B3

=

S△A2B1B2 S△A3B2B3

=

1

2

，
又∵A₁B₁∥A₂B₂∥A₃B₃，
∴

A2B1

A3B2

=

OB1

OB2

=

OA1

OA2

=

1

2

，

A2B2

A3B3

=

OB2

OB3

=

1

2

，
∴OA₁=A₁A₂，B₁B₂=

1

2

B₂B₃
繼而可得出規(guī)律：A₁A₂=

1

2

A₂A₃=

1

4

A₃A₄…；B₁B₂=

1

2

B₂B₃=

1

4

B₃B₄…
又△A₂B₁B₂，△A₃B₂B₃的面積分別為1、4，
∴S_△A1B1A2=

1

2

，S_△A2B2A3=2，
繼而可推出S_△A3B3A4=8，S_△A，4B4A5=32，S_△A5B5A6=128，S_△A6B6A7=512，S_△A7B7A8=2048，
故可得小于2011的陰影三角形的有：△A₁B₁A₂，△A₂B₂A₃，△A₃B₃A₄，△A₄B₄A₅，△A₅B₅A₆，△A₆B₆A₇，共6個(gè)．
故答案是：

1

2

；6．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)及平行線的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是掌握相似比等于面積比的平方，及平行線分線段成比例，難度較大，注意仔細(xì)觀察圖形，得出規(guī)律．