Question

如圖，正方形ABCD中，F(xiàn)為AB上一點，E是BC延長線上一點，且AF=EC，連結EF，DE，DF，M是FE中點，連結MC，設FE與DC相交于點N．則4個結論：
①∠EDF=90°；②△BFG∽△EDG∽△BDE；③AD²+AF²=DG•DB；④若MC=

2

，則BF=2；
正確的結論有（　�。�

• A、①②
• B、①②③
• C、③④
• D、①②③④

Answer 1

考點：正方形的性質,勾股定理,相似三角形的判定與性質

專題：

分析：根據正方形的性質可得AD=CD，然后利用“邊角邊”證明△ADF和△CDE全等，根據全等三角形對應角相等可得∠ADF=∠CDE，然后求出∠EDF=∠ADC=90°，判斷出①正確；根據全等三角形對應邊相等可得DE=DF，然后判斷出△DEF是等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質可得∠DEF=45°，再根據兩組角對應相等的三角形相似得到△BFG∽△EDG∽△BDE，判斷出②正確；根據勾股定理可得AD²+AF²=DF²，再利用相似三角形對應邊成比例列式整理可得DG•DB=DE²，然后求出AD²+AF²=DG•DB，判斷出③正確；連接BM、DM，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得BM=DM=

1

2

EF，然后判斷出直線CM垂直平分BD，過點M作MH⊥BC于H，得到∠MCH=45°，然后求出MH，再根據三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得BF=2MH，判斷出④正確．

解答：解：正方形ABCD中，AD=CD，
在△ADF和△CDE中，

AD=CD ∠A=∠DCE=90° AF=EC

，
∴△ADF≌△CDE（SAS），
∴∠ADF=∠CDE，
∴∠EDF=∠FDC+∠CDE=∠FDC+∠ADF=∠ADC=90°，故①正確；
DE=DF，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴∠DEF=45°，
∵∠ABD=∠DEF=45°，∠BGF=∠EGD（對頂角相等），
∴△BFG∽△EDG，
∵∠DBE=∠DEF=45°，∠BDE=∠EDG，
∴△EDG∽△BDE，
∴△BFG∽△EDG∽△BDE，故②正確；
在Rt△ADF中，由勾股定理得，AD²+AF²=DF²，
由△EDG∽△BDE得，

DG

DE

=

DE

BD

，
∴DG•DB=DE²，
∵DE=DF，
∴AD²+AF²=DG•DB，故③正確；
連接BM、DM，
∵M是EF的中點，△BEF、△DEF是直角三角形，
∴BM=DM=

1

2

EF，
又∵BC=CD，
∴直線CM是BD的垂直平分線，
過點M作MH⊥BC于H，則∠MCH=45°，
∵MC=

2

，
∴MH=

2

2

×

2

=1，
∵M是EF的中點，BF⊥BC，MH⊥BC，
∴MH是△BEF的中位線，
∴BF=2MH=2，故④正確；
綜上所述，正確的結論有①②③④．
故選D．

點評：本題考查了正方形的性質，勾股定理，全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，等腰直角三角形的判定與性質，到線段兩端點距離相等的點在線段的垂直平分線，三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，熟記各性質與定理并作輔助線是解題的關鍵．