Question

如圖，邊長為1的正方形ABCD內接于⊙O，點F在BC延長線上，且∠CAF=∠CFA，AF交CD于點E，交CD于點P．作直線DF．
（1）求的值；
（2）證明：E是AF的中點；
（3）判斷直線DF與⊙O的位置關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由AD∥BF得△ADP∽△FCP，則DP：PC=AD：CF=AD：AC=1：；
（2）連接CE，則CE⊥AF．根據(jù)等腰三角形性質得證；
（3）連接OD，則∠ODC=45°．因為FC＞CD，所以∠FDC＞45°，得∠ODF＞90°．
根據(jù)垂線段最短知點O到DF的距離小于半徑OD，故判定為相交．
解答：解：（1）在正方形ABCD中，
∵∠ADP=∠FCP=90°，
又∵∠APD=∠FPC，
∴△ADP∽△FCP．               （2分）
∴．
又∵∠CAF=∠CFA，且AD=AB=BC=1，
∴FC=AC=．
∴．        （4分）

（2）連接CE，由已知可得，AC是⊙O的直徑，
∴∠AEC=90°．                 （6分）
∴CE⊥AF．
又∵∠CAF=∠CFA，
∴△ACF是等腰三角形．
∴AE=FE，
∴E是AF的中點．                （8分）

（3）直線DF與⊙O相交．
∵在Rt△DCF中，CF＞DC，
∴∠CDF＞∠CFD．
而∠CDF+∠CFD=90°，
∴∠CDF＞45°．                （10分）
連接OD，則∠ODC=45°．
∴∠ODF=∠ODC+∠CDF＞45°+45°=90°．
∴點O到直線DF的距離小于圓的半徑．
∴直線DF與⊙O相交．             （13分）
點評：此題考查相似三角形的判定及性質、等腰三角形的性質、切線的判定方法等知識點，綜合性較強，有相當難度．