Question

如圖1，在四邊形ABCD中，AB∥CD，延長(zhǎng)AB到E，使BE=DC，連接CE，AC=CE．
（1）求證：AD=BC；
（2）在上述條件下，如圖2，延長(zhǎng)AD、EC交于點(diǎn)G，若將AE翻折，點(diǎn)E與點(diǎn)G剛好重合，折痕為AF，且GC：CE=3：5，AE=2

10

，求AF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）得出平行四邊形DCEB，推出BD=CE=AC，根據(jù)等腰梯形的判定推出即可．
（2）過(guò)C點(diǎn)作CH⊥AE于點(diǎn)H，根據(jù)平行線分線段定理（或相似三角形的性質(zhì)和判定）求出DC、AB、CH長(zhǎng)，求出GE，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出GF，根據(jù)勾股定理求出即可．

解答：（1）證明：∵AB∥CD，
∴DC∥BE，
∵DC=BE，
∴四邊形DCEB是平行四邊形，
∴CE=BD，
∵AC=CE，
∴AC=BD，
∵四邊形ABCD是梯形，
∴四邊形ABCD是等腰梯形，
∴AD=BC．
（2）解：
由點(diǎn)E與點(diǎn)G剛好重合，折痕為AF可知，三角形GAE為等腰三角形，且AG=AE，AF是三角形GAE的高線，
過(guò)C點(diǎn)作CH⊥AE于點(diǎn)H，
∵GC：CE=3：5，DC∥AB，
∴△GDC∽△GAE
∴

GD

DA

=

3

5

，
又∵四邊形DCEB是平行四邊形，
∴BD∥CE，
∴△ADB∽△AGE，
∴

BE

AB

=

DG

AD

=

3

5

，
∵AE=2

10

，
∴AB=

5

4

10

，DC=BE=

3

4

10

，
∵四邊形ABCD是梯形，
∴BH=

1

2

（ AB-CD）=

1

4

10

，BC=AD=AB=

5

4

10

，
∴在Rt△BCH中，由勾股定理得：CH=4

15

，
∴EH=BE+BH=

10

∴在Rt△CEH中，由勾股定理得：CE=5，
∴CG=3，
在Rt△AFG中，由勾股定理得：AF=

(2 10 )2-42

=2

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰梯形的判定，相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，題目綜合性比較強(qiáng)，難度偏大．