Question

【題目】如圖，已知拋物線y=ax2﹣2 ax﹣9a與坐標(biāo)軸交于A，B，C三點(diǎn)，其中C（0，3），∠BAC的平分線AE交y軸于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，過點(diǎn)D的直線l與射線AC，AB分別交于點(diǎn)M，N．

（1）直接寫出a的值、點(diǎn)A的坐標(biāo)及拋物線的對(duì)稱軸；
（2）點(diǎn)P為拋物線的對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，若△PAD為等腰三角形，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）證明：當(dāng)直線l繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)時(shí)， + 均為定值，并求出該定值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵C（0，3）．

∴﹣9a=3，解得：a=﹣ ．

令y=0得：ax2﹣2 x﹣9a=0，

∵a≠0，

∴x2﹣2 x﹣9=0，解得：x=﹣ 或x=3 ．

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣ ，0），B（3 ，0）．

∴拋物線的對(duì)稱軸為x=

（2）

解：∵OA= ，OC=3，

∴tan∠CAO= ，

∴∠CAO=60°．

∵AE為∠BAC的平分線，

∴∠DAO=30°．

∴DO= AO=1．

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，1）

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（ ，a）．

依據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可知：AD2=4，AP2=12+a2，DP2=3+（a﹣1）2．

當(dāng)AD=PA時(shí)，4=12+a2，方程無解．

當(dāng)AD=DP時(shí)，4=3+（a﹣1）2，解得a=2或a=0，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（ ，2）或（ ，0）．

當(dāng)AP=DP時(shí)，12+a2=3+（a﹣1）2，解得a=﹣4．

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（ ，﹣4）．

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（ ，2）或（ ，0）或（ ，﹣4）

（3）

解：設(shè)直線AC的解析式為y=mx+3，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入得：﹣ m+3=0，解得：m= ，

∴直線AC的解析式為y= x+3．

設(shè)直線MN的解析式為y=kx+1．

把y=0代入y=kx+1得：kx+1=0，解得：x=﹣ ，

∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（﹣ ，0）．

∴AN=﹣ + = ．

將y= x+3與y=kx+1聯(lián)立解得：x= ．

∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為 ．

過點(diǎn)M作MG⊥x軸，垂足為G．則AG= + ．

∵∠MAG=60°，∠AGM=90°，

∴AM=2AG= +2 = ．

∴ + = + = + = = =

【解析】（1）由點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），可知﹣9a=3，故此可求得a的值，然后令y=0得到關(guān)于x的方程，解關(guān)于x的方程可得到點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)，最后利用拋物線的對(duì)稱性可確定出拋物線的對(duì)稱軸；（2）利用特殊銳角三角函數(shù)值可求得∠CAO=60°，依據(jù)AE為∠BAC的角平分線可求得∠DAO=30°，然后利用特殊銳角三角函數(shù)值可求得OD=1，則可得到點(diǎn)D的坐標(biāo)．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（ ，a）．依據(jù)兩點(diǎn)的距離公式可求得AD、AP、DP的長(zhǎng)，然后分為AD=PA、AD=DP、AP=DP三種情況列方程求解即可；（3）設(shè)直線MN的解析式為y=kx+1，接下來求得點(diǎn)M和點(diǎn)N的橫坐標(biāo)，于是可得到AN的長(zhǎng)，然后利用特殊銳角三角函數(shù)值可求得AM的長(zhǎng)，最后將AM和AN的長(zhǎng)代入化簡(jiǎn)即可．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)，掌握增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減��；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減小，以及對(duì)特殊角的三角函數(shù)值的理解，了解分母口訣：30度、45度、60度的正弦值、余弦值的分母都是2，30度、45度、60度的正切值、余切值的分母都是3，分子口訣：“123，321，三九二十七”．