Question

14．如圖，已知點A（1，2）是反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$圖象上的一點，連接AO并延長交雙曲線的另一分支于點B，點P是x軸上一動點；若△PAB是等腰三角形，則點P的坐標是（-3，0）或（5，0）或（3，0）或（-5，0）．

Answer 1

分析 由對稱性可知O為AB的中點，則當△PAB為等腰三角形時只能有PA=AB或PB=AB，設P點坐標為（x，0），可分別表示出PA和PB，從而可得到關與x的方程，可求得x，可求得P點坐標．

解答 解：
∵反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$圖象關于原點對稱，
∴A、B兩點關于O對稱，
∴O為AB的中點，且B（-1，-2），
∴當△PAB為等腰三角形時有PA=AB或PB=AB，
設P點坐標為（x，0），
∵A（1，2），B（-1，-2），
∴AB=$\sqrt{[1-（-1）]^{2}+[2-（-2）]^{2}}$=2$\sqrt{5}$，PA=$\sqrt{（x-1）^{2}+{2}^{2}}$，PB=$\sqrt{（x+1）^{2}+（-2）^{2}}$，
當PA=AB時，則有$\sqrt{（x-1）^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，解得x=-3或5，此時P點坐標為（-3，0）或（5，0）；
當PB=AB時，則有$\sqrt{（x+1）^{2}+（-2）^{2}}$=2$\sqrt{5}$，解得x=3或-5，此時P點坐標為（3，0）或（-5，0）；
綜上可知P點的坐標為（-3，0）或（5，0）或（3，0）或（-5，0），
故答案為：（-3，0）或（5，0）或（3，0）或（-5，0）．

點評 本題主要考查等腰三角形的性質和反比例函數(shù)的對稱性，判斷出只有PA=AB或PB=AB兩種情況是解題的關鍵，注意方程思想的應用．