Question

根據下列條件求關于x的二次函數的解析式：
（1）當x=3時，y_最小值=-1，且圖象過（0，7）；
（2）圖象過點（0，-2）（1，2）且對稱軸為直線x=

3

2

；
（3）圖象經過（0，1）（1，0）（3，0）；
（4）當x=1時，y=0；x=0時，y=-2，x=2時，y=3；
（5）拋物線頂點坐標為（-1，-2）且通過點（1，10）

Answer 1

考點：待定系數法求二次函數解析式

專題：

分析：（1）、（5）已知頂點坐標和圖象上一點坐標，所以設二次函數解析式為頂點式方程：y=a（x-h）²+k（a，h，k是常數，a≠0）；
（2）、（3）、（4）設二次函數解析式為一般式y=ax²+bx+c（a，b，c是常數，a≠0），借助于方程組求系數的值．

解答：解：（1）設二次函數的解析式為：y=a（x-h）²+k，
將h=3，k=-1和點（0，7）代入得，
a（0-3）²-1=7，
解得a=

8

9

，
所以，該二次函數的解析式為：y=

8

9

（x-3）²-1；

（2）設二次函數解析式為y=ax²+bx+c（a，b，c是常數，a≠0），則

c=-2 a+b+c=2 - b 2a = 3 2

，
解得，

a=-2 b=6 c=-2

，
所以，該二次函數的解析式為：y=-2x²+6x-2；

（3）設二次函數解析式為y=ax²+bx+c（a，b，c是常數，a≠0），則

c=1 a+b+c=0 9a+3b+c=0

，
解得，

a= 1 3 b=- 4 3 c=1

，
所以，該二次函數的解析式為：y=

1

3

x²-

4

3

x+1；

（4）設二次函數解析式為y=ax²+bx+c（a，b，c是常數，a≠0），則

a+b+c=0 c=-2 4a+2b+c=3

，
解得，

a= 1 2 b= 3 2 c=-2

，
所以，該二次函數的解析式為：y=

1

2

x²+

3

2

x-2；

（5）設二次函數的解析式為：y=a（x+1）²-2，
將（1，10）代入得，
a（1+1）²-2=10，
解得a=5，
所以，該二次函數的解析式為：y=6（x+1）²-2．

點評：本題考查了待定系數法求二次函數解析式．在利用待定系數法求二次函數關系式時，要根據題目給定的條件，選擇恰當的方法設出關系式，從而代入數值求解．一般地，當已知拋物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數法列三元一次方程組來求解；當已知拋物線的頂點或對稱軸時，常設其解析式為頂點式來求解；當已知拋物線與x軸有兩個交點時，可選擇設其解析式為交點式來求解．