Question

【題目】如圖，直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn) y=kx+b 分別交x,y軸于點(diǎn)A(-8，0)，B(0，6)，C（m,0）是射線(xiàn)AO上一動(dòng)點(diǎn)，⊙P過(guò)B，O，C三點(diǎn)，交直線(xiàn)AB于點(diǎn)D（B，D不重合）.

（1）求直線(xiàn)AB的函數(shù)表達(dá)式.

（2）若點(diǎn)D在第一象限，且tan∠ODC= ， 求點(diǎn)D的坐標(biāo).

（3）當(dāng)△ODC為等腰三角形時(shí)，求出所有符合條件的m的值.

（4）點(diǎn)P，Q關(guān)于OD成軸對(duì)稱(chēng)，當(dāng)點(diǎn)Q恰好落在直線(xiàn)AB上時(shí)，直接寫(xiě)出此時(shí)BQ的長(zhǎng).

Answer 1

【答案】（1）y=x+6；（2）D（ ， ）；（3）m的值為-3或或12或 8；（4）BQ=.

【解析】

（1）把A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入y=kx+b求出k、b的值即可；（2）連結(jié)BC，作DE⊥OC于點(diǎn)E，根據(jù)圓周角定理可得∠OBC=∠ODC，由tan∠ODC= 可求出OC的長(zhǎng)，進(jìn)而可得AC的長(zhǎng)，利用∠DAC的三角函數(shù)值可求出DE的長(zhǎng)，即可得D點(diǎn)縱坐標(biāo)，代入直線(xiàn)AB解析式求出D點(diǎn)橫坐標(biāo)即可得答案；（3）分四種情況泰倫，利用兩點(diǎn)間距離公式及相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式即可；（4）分析四邊形DPOQ為菱形，推出∠BOP=∠ABO，利用三角函數(shù)求線(xiàn)段長(zhǎng)度；

解：

（1）∵A（-8，0）、B（0，6）在y=kx+b上，

∴，解得，

∴直線(xiàn)AB的函數(shù)表達(dá)式為y=x+6.

（2）連結(jié)BC，作DE⊥OC于點(diǎn)E，

∵∠BOC=90°，

∴BC為⊙P的直徑，

∴∠ADC=90°，

∵∠OBC=∠ODC，tan∠ODC=，

∴，

∵OB=6，OA=8，

∴OC=10，AC=18，AB=10，

∵cos∠DAC==，sin∠DAC==，

，

，

令 ，，，

∴D（ ， ）

（3）①如圖2所示，當(dāng)DC=OC時(shí)，

∵BC=BC，∠BDC=∠BOC=90°，

∴△BDC≌△BOC(HL)，

∴BD=BO=6，

設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（n，），

∴BD=，

解得n=，

∴D（ ，），

∵C（m，0），

∴DC=，

解得m=-3.

②如圖3所示，當(dāng)OD=DC時(shí)，

過(guò)D作DE⊥OC于點(diǎn)E，

設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（a，），則m=2a，

∴DE=， EC=a，AE=8+a，

∴△ADE∽△DCE，

∴，

即，

解得（舍去），

∴m=.

③如圖4所示，當(dāng)DC=OC時(shí)，

∵OC=m，

∴CD=m，

∴AD=，

∴AC=，

∴8+m=，

解得m=12.

④如圖5所示，當(dāng)OD=OC時(shí)，

OC=OD=m，

∴AC=8+m，

∴AD=AC×cos∠BAO=，

則AH=AD×cos∠BAO=，

∴OH=AH-8=，

∵DH=AD×sin∠BAO=，

∴，

解得m=±8.

∵m>0

∴m=8

綜上所述，m的值為-3或或12或 8.

（4）解：如圖6所示，連結(jié)OQ，

∵PD=DQ，PO=OQ，PD=OP，

∴DQ=DP=PO=OQ，

∴四邊形DQOP為菱形，

∴DQ∥PO，

∴∠BOP=∠PBO=∠ABO，

在Rt△BOC中，∠BOC=90°，P為BC中點(diǎn)

∴BP=BC=BO÷cos∠BOP=5，

∴OQ=5，

設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（c，），

則OQ= ，

∴

∵c=-4時(shí)，B、D重合

∴c=-4不符合題意，舍去

∴

∴Q（-，），

∴BQ=.