Question

如圖，拋物線y=ax²+bx-交x軸于A（-3，0）、B（1，0）兩點，交y軸于點C，點D在拋物線上，且CD∥AB，對稱軸直線l交x軸于點M，連結(jié)CM，將∠CMB繞點M旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后的兩邊分別交直線BC、直線CD于點E、F．
（1）求拋物線的解析式；
（2）當(dāng)點E為BC中點時，射線MF與拋物線的交點坐標(biāo)是______；
（3）若ME=CF，求點E的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）因為拋物線過A（-3，0）、B（1，0）兩點，
∴，
解得：，
∴；

（2）∵OB=1，BC=2，
∴∠BCO=30°，
∴∠CBO=60°，
∴△MBC是等邊三角形，
∴∠CMB=60°，
∴∠BMC=∠EMF=60°，
當(dāng)點E為BC中點時，
∴∠BME=∠CME=30°，
∴∠FMC=30°，
∴MF是拋物線的對稱軸，
∴射線MF與拋物線的交點是拋物線的頂點，
∵，
∴頂點坐標(biāo)為：，

（3）∵OA=3，OB=1，OC=，
∴，
又∠AOC=∠BOC=90°，
∴△AOC∽△COB，
∴∠OAC=∠BCO，
∴∠ACB=90°，
∵M(jìn)為AB中點，
∴CM=BM，
∵OB=1，BC=2，
∴∠BCO=30°，
∴∠CBO=60°，
∴△MBC是等邊三角形，
∴∠CMB=∠MCB=60°，
∵AB∥CD，
∴∠ACD=30°，
∴∠BCD=120°，
∴∠BCD+∠EMF=180°，
∴∠MEC+∠MFC=180°，
∴∠MEB=∠MFC，
又∵∠EMB=∠CMF，
∴，
∴△MBE≌△MCF，
∴MF=ME，
又∵M(jìn)E=CF，
∴MF=CF，
令對稱軸與CD交于點H，點F的橫坐標(biāo)為t，
在直角△MHF中MF²=MH²+HF²
即，
∴，，
當(dāng)時，BE=CF=，
過點E作EG⊥x軸，垂足為G，
在直角△BGE中，
∵∠GBE=60°，
∴∠GEB=30°，
∴GB==，
∴GE=，
∴E（，），
同理，當(dāng)時，點E（，）．
故答案為：．
分析：（1）把A（-3，0）、B（1，0）兩點的坐標(biāo)分別代入拋物線y=ax²+bx-求出a和b的值即可得到拋物線的解析式；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知∠BMC=∠EMF，再根據(jù)題目的已知條件可證明△BMC是等邊三角形，所以∠BMC=∠EMF=60°，由等邊三角形的性質(zhì)可求出F點的坐標(biāo)，當(dāng)點E為BC中點時，可以證明射線MF與拋物線的交點恰好是拋物線的頂點；
（3）由（2）可知△MBC是等邊三角形，所以∠CMB=∠MCB=60°，因為AB∥CD，所以∠ACD=30°，所以∠BCD=120°，所以∠BCD+∠EMF=180°，所以∠MEC+∠MFC=180°，進(jìn)而得到∠MEB=∠MFC，又∠EMB=∠CMF，所以△MBE≌△MCF，所以MF=ME，又ME=CF，所以可得到MF=CF，令對稱軸與CD交于點H，點F的橫坐標(biāo)為t，利用勾股定理計算即可．
點評：本題綜合性的考查了用待定系數(shù)法求拋物線的解析式、用公式法求拋物線的頂點坐標(biāo)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理的運用、全等三角形的判定和性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)，題目的綜合性很強．難度很大，對學(xué)生的解題能力要求較高．