Question

如圖，過(guò)點(diǎn)C的直線l∥x軸，拋物線y=ax²+bx+c（a＜0）過(guò)A（-1，0），C（0，1）兩點(diǎn)，且截直線l所得線段CD=

2

3

．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)M（m，t）（m＜0，t＞0）在拋物線上，MN∥x軸，且與該拋物線的另一交點(diǎn)為N，問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù)t，使得MN=2AO？如果存在，求出t的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）可根據(jù)A，C，D三點(diǎn)坐標(biāo)用待定系數(shù)法來(lái)求出拋物線的解析式．本題中D點(diǎn)的坐標(biāo)不確定，因此要分兩種情況進(jìn)行求解．
（2）由于拋物線的解析式有兩個(gè)，因此要分類討論．求解時(shí)，可設(shè)出N點(diǎn)的坐標(biāo)，然后用M，N的橫坐標(biāo)表示出MN的長(zhǎng)，根據(jù)韋達(dá)定理可用t表示出M、N兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的和與積，由此可用含t的式子表示出OA的長(zhǎng)，即可求出t的值．

解答：解：（1）∵l∥x軸，C（0，1），CD=

2

3

，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為D（-

2

3

，1）或D（

2

3

，1），
當(dāng)拋物線過(guò)A（-1，0），C（0，1），D（-

2

3

，1）時(shí)．

a-b+c=0 c=0 4 9 a+ 2 3 b+c=1

，
解得

a=-3 b=-2 c=1

，
當(dāng)拋物線過(guò)A（-1，0），C（0，1），D（

2

3

，1）時(shí)．

a-b+c=0 c=1 4 9 a+ 2 3 b+c=1

，
解得

a=- 3 5 b= 2 5 c=1

，
故所求的拋物線的解析式為y=-3x²-2x+1或y=-

3

5

x²+

2

5

x+1．

（2）若點(diǎn)M（m，t）在拋物線y=-3x²-2x+1上，
因拋物線對(duì)稱軸在y軸左側(cè)，線段MN在x軸上方，
故MN＜2AO．
因此不存在實(shí)數(shù)t，使得MN=2AO．
若點(diǎn)M（m，t）在拋物線y=-

3

5

x²+

2

5

x+1上，
則存在實(shí)數(shù)t，使得MN=2AO．
設(shè)N（n，t），
則有t=-

3

5

n²+

2

5

n+1，又t=-

3

5

m²+

2

5

m+1．
故m、n是方程-

3

5

x²+

2

5

x+1-t=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
∴m+n=

2

3

，mn=-

5

3

（1-t），
∴MN=n-m=

(m+n)2-4mn

=

( 2 3 )2+4× 5 3 (1-t)

=2AO=2，
∴t=

7

15

．

點(diǎn)評(píng)：數(shù)形結(jié)合、方程函數(shù)的數(shù)學(xué)思想在數(shù)學(xué)綜合題中充分利用，對(duì)題目的條件和結(jié)論既分析其代數(shù)含義又分析其幾何意義，力圖在代數(shù)和幾何的結(jié)合上找出解題思路．