Question

邊長為整數(shù)的直角三角形，若其兩直角邊邊長是方程x²-(k+2)x+4k=0的兩根，求k的值，并確定直角三角形三邊之長。（10分）

Answer 1

設直角邊為a，b（a<b），則a+b=k+2，ab=4k，因為方程的根為整數(shù)，故△=（k+2）²-16k為完全平方數(shù)。
設(k+2)²-16k=n² ∴k²-12k+4=n² ∴(k-6)²-n²=32
∴(k+n-6)(k-n-6)=1×32=2×16=4×8
∵k+n-6>k-n-6   ∴
解得，k₂=15,k₃=12
當k₂=15時，a+b="17,ab=60  " ∴a="15" ， b="12 " ， c=13；當k=12時，a+b=14,ab=48
∴a="6" ， b="8 " ，c=10

略