Question

4．如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一點，BE交AC于F，連接DF．
（1）證明：∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE．
（2）若AB∥CD，試證明四邊形ABCD是菱形．

Answer 1

分析 （1）要證明∠BAC=∠DAC，只需證明利用SSS證明△ABC≌△ADC即可；要證明∠AFD=∠CFE先證明△ABF≌△ADF得到∠AFD=∠AFB，再結(jié)合∠AFB=∠AFD
即可得到結(jié)論；
（2）要證明四邊形ABCD是菱形需要證明四條邊相等，證明出∠CAD=∠ACD，即可得到AD=CD，結(jié)合題干條件即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：在△ABC和△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{BC=DC}\\{AC=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠BAC=∠DAC，
在△ABF和△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠BAF=∠DAF}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△ADF，
∴∠AFD=∠AFB，
∵∠AFB=∠AFD，
∴∠AFD=∠CFE；
（2）證明：∵AB∥CD，
∴∠BAC=∠ACD，
又∵∠BAC=∠DAC，
∴∠CAD=∠ACD，
∴AD=CD，
∵AB=AD，CB=CD，
∴AB=BC=CD=AD，
∴四邊形ABCD是菱形．

點評 本題主要考查了菱形的判定與全等三角形的判定與性質(zhì)的知識，解答（1）問的關(guān)鍵是利用全等三角形的性質(zhì)求出∠AFD=∠AFB，解答（2）問的關(guān)鍵是掌握四邊相等的四邊形是菱形，此題難度一般．