Question

如圖，在平行四邊形ABCD中，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為E，連接DE，F(xiàn)為線段DE上一點(diǎn)，且∠AFE=∠B．
（1）求證：△ADF∽△DEC；
（2）若AB=6，AD=12，AE=5，求AF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）△ADF和△DEC中，易知∠ADF=∠CED（平行線的內(nèi)錯(cuò)角），而∠AFD和∠C是等角的補(bǔ)角，由此可判定兩個(gè)三角形相似；
（2）在Rt△ABE中，由勾股定理易求得DE的長(zhǎng)，再根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可求出AF的長(zhǎng)．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠ADF=∠CED，∠B+∠C=180°；
∵∠AFE+∠AFD=180°，∠AFE=∠B，
∴∠AFD=∠C，
∴△ADF∽△DEC；

（2）解：∵AE⊥BC，
∴AE⊥AD；
在Rt△ADE中，AD=12，AE=5，
∴DE=

AD 2+AE 2

=13，
∵△ADF∽△DEC，
∴

AF

DC

=

AD

DE

，
即

AF

6

=

12

13

，
∴AF=

72

13

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查的是平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是熟記判定三角形相似的各種方法和各種性質(zhì)．