【題目】如圖,拋物線y=x2+bx+c與x軸交于點A和B(3,0),與y軸交于點C(0,3).
(1)求拋物線的解析式;
(2)若點M是拋物線上在x軸下方的動點,過M作MN∥y軸交直線BC于點N,求線段MN的最大值;
(3)E是拋物線對稱軸上一點,F是拋物線上一點,是否存在以A,B,E,F為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,請直接寫出點F的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
【答案】(1) y=x2﹣4x+3;(2);(3)見解析.
【解析】
(1)利用待定系數(shù)法進(jìn)行求解即可;
(2)設(shè)點M的坐標(biāo)為(m,m2﹣4m+3),求出直線BC的解析,根據(jù)MN∥y軸,得到點N的坐標(biāo)為(m,﹣m+3),由拋物線的解析式求出對稱軸,繼而確定出1<m<3,用含m的式子表示出MN,繼而利用二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可;
(3)分AB為邊或為對角線進(jìn)行討論即可求得.
(1)將點B(3,0)、C(0,3)代入拋物線y=x2+bx+c中,
得:,
解得:,
故拋物線的解析式為y=x2﹣4x+3;
(2)設(shè)點M的坐標(biāo)為(m,m2﹣4m+3),設(shè)直線BC的解析式為y=kx+3,
把點B(3,0)代入y=kx+3中,
得:0=3k+3,解得:k=﹣1,
∴直線BC的解析式為y=﹣x+3,
∵MN∥y軸,
∴點N的坐標(biāo)為(m,﹣m+3),
∵拋物線的解析式為y=x2﹣4x+3=(x﹣2)2﹣1,
∴拋物線的對稱軸為x=2,
∴點(1,0)在拋物線的圖象上,
∴1<m<3.
∵線段MN=﹣m+3﹣(m2﹣4m+3)=﹣m2+3m=﹣(m﹣)2+,
∴當(dāng)m=時,線段MN取最大值,最大值為;
(3)存在.點F的坐標(biāo)為(2,﹣1)或(0,3)或(4,3).
當(dāng)以AB為對角線,如圖1,
∵四邊形AFBE為平行四邊形,EA=EB,
∴四邊形AFBE為菱形,
∴點F也在對稱軸上,即F點為拋物線的頂點,
∴F點坐標(biāo)為(2,﹣1);
當(dāng)以AB為邊時,如圖2,
∵四邊形AFBE為平行四邊形,
∴EF=AB=2,即F2E=2,F1E=2,
∴F1的橫坐標(biāo)為0,F2的橫坐標(biāo)為4,
對于y=x2﹣4x+3,
當(dāng)x=0時,y=3;
當(dāng)x=4時,y=16﹣16+3=3,
∴F點坐標(biāo)為(0,3)或(4,3),
綜上所述,F點坐標(biāo)為(2,﹣1)或(0,3)或(4,3).
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【題目】(1)問題發(fā)現(xiàn)
如圖1,△ACB和△DCE均為等邊三角形,點A,D,E在同一直線上,連接BE.填空:
①∠AEB的度數(shù)為______;
②線段AD,BE之間的數(shù)量關(guān)系為______.
(2)拓展探究
如圖2,△ACB和△DCE均為等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,點A,D,E在同一直線上,CM為△DCE中DE邊上的高,連接BE,請判斷∠AEB的度數(shù)及線段CM,AE,BE之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在相同條件下重復(fù)試驗,若事件A發(fā)生的概率是,則下列說法正確的是( 。
A. 說明在相同條件下做100次試驗,事件A必發(fā)生50次
B. 說明在相同條件下做多次這種試驗,事件A發(fā)生的頻率必是50%
C. 說明在相同條件下做兩個100次這種試驗,事件A平均發(fā)生50次
D. 說明在相同條件下做100次這種試驗,事件A可能發(fā)生50次
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【題目】“足球運球”是中考體育必考項目之一.蘭州市某學(xué)校為了解今年九年級學(xué)生足球運球的掌握情況,隨機抽取部分九年級學(xué)生足球運球的測試成績作為一個樣本,按A,B,C,D四個等級進(jìn)行統(tǒng)計,制成了如下不完整的統(tǒng)計圖.(說明:A級:8分﹣10分,B級:7分﹣7.9分,C級:6分﹣6.9分,D級:1分﹣5.9分)
根據(jù)所給信息,解答以下問題:
(1)在扇形統(tǒng)計圖中,C對應(yīng)的扇形的圓心角是 度;
(2)補全條形統(tǒng)計圖;
(3)所抽取學(xué)生的足球運球測試成績的中位數(shù)會落在 等級;
(4)該校九年級有300名學(xué)生,請估計足球運球測試成績達(dá)到A級的學(xué)生有多少人?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,∠C=90°,AC=16cm,BC=8cm,一動點P從點C出發(fā)沿著CB方向以2cm/s的速度運動,另一動點Q從A出發(fā)沿著AC邊以4cm/s的速度運動,P、Q兩點同時出發(fā),運動時間為t(s).
(1)若△PCQ的面積是△ABC面積的,求t的值?
(2)△PCQ的面積能否與四邊形ABPQ面積相等?若能,求出t的值;若不能,說明理由.
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【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,弦BC=OB,點D是上一動點,點E是CD中點,連接BD分別交OC,OE于點F,G.
(1)求∠DGE的度數(shù);
(2)若=,求的值;
(3)記△CFB,△DGO的面積分別為S1,S2,若=k,求的值.(用含k的式子表示)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,點O是∠ABC和∠ACB兩個內(nèi)角平分線的交點,過點O作EF∥BC分別交AB,AC于點E,F,已知△ABC的周長為8,BC=x,△AEF的周長為y,則表示y與x的函數(shù)圖象大致是( )
A. B.
C. D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在菱形中,,,是的中點.過點作,垂足為.將沿點到點的方向平移,得到.設(shè)、分別是、的中點,當(dāng)點與點重合時,四邊形的面積為________.
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