Question

4．如圖①，直線l₁：y=$\frac{4}{3}$x+4與x軸交于B點(diǎn)，與直線l₂交于y軸上一點(diǎn)A，且l₂與x軸的交點(diǎn)為C（3，0）．
（1）過(guò)x軸上一點(diǎn)D（4，0），作DE⊥AB于E，DE交y軸于點(diǎn)F，交AC軸于點(diǎn)G，①求證：△ABO≌△DFO；
②求點(diǎn)G的坐標(biāo)；
（2）如圖②，將△ABC沿x軸向右平移，AB邊與y軸于點(diǎn)P（P不與A、B兩點(diǎn)重合），過(guò)點(diǎn)P作一條直線與AC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)Q，與x軸交于點(diǎn)M，且BP=CQ，
在△ABC平移的過(guò)程中，線段OM的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化？若不變，求出其長(zhǎng)度；若變化，確定其變化范圍．

Answer 1

分析 （1）①根據(jù)余角的性質(zhì)，可得∠BAO=∠FDO，根據(jù)有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似，可得答案；
②根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得A點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)，可得AC的解析式；根據(jù)互相垂直的兩直線一次項(xiàng)系數(shù)的乘積為-1，可得DF的解析式，根據(jù)解方程組，可得G點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得∠NPM=∠Q，∠ACB=∠PNB，根據(jù)等腰三角形的判定，可得PB與PN的關(guān)系，根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得PM與CM的關(guān)系，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可得OB與ON的關(guān)系，根據(jù)線段的和差，可得答案．

解答 ①證明：∵∠AFE=∠DFO（對(duì)頂角相等），
∠EAF+∠AFE=90°，∠DFO+∠FDO=90°，
∴∠BAO=∠FDO．
又∵∠AOB=∠DOF=90°，
∴△ABO≌△DFO；
當(dāng)y=0時(shí)，x=-3，即B（-3，0），BC=3-（-3）=6．
②解：當(dāng)x=0時(shí)，y=$\frac{4}{3}$x+4=4，即A（0，4）．
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{4}{3}}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直線AC的解析式為y=-$\frac{4}{3}$x+4．
由DF⊥AB，得DF的一次項(xiàng)系數(shù)與AB的一次項(xiàng)系數(shù)互為負(fù)倒數(shù)，
設(shè)DF的解析式為y=-$\frac{3}{4}$x+b，將D點(diǎn)坐標(biāo)代入，得
-$\frac{3}{4}$×4+b=0，解得b=3，即DF的解析式為y=-$\frac{3}{4}$x+3．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{4}{3}x+4}\\{y=-\frac{3}{4}x+3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{12}{7}}\\{y=\frac{12}{7}}\end{array}\right.$，
所以，點(diǎn)G（$\frac{12}{7}$，$\frac{12}{7}$）；
（2）OM的長(zhǎng)度不會(huì)發(fā)生變化，
如圖②，
過(guò)P點(diǎn)作PN∥AC交BC于N點(diǎn)，
則∠NPM=∠Q，∠ACB=∠PNB．
由平移的性質(zhì)，得BC=6．
∵∠ABC=∠ACB，
∴∠PNB=∠PBC，
∴PN=PB．
∵BP=CQ，
∴PN=CQ．
在CQM和△NPM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠Q=∠NPM}\\{CMQ=∠NMP}\\{CQ=PN}\end{array}\right.$，
∴△CQM≌△NPM（AAS），
∴CM=MN．
∵PB=PN，PO⊥BN，
∴ON=OB，
∵CM+MN+ON+OB=2（MN+ON）=BC，
∴OM=MN+ON=$\frac{1}{2}$BC=3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一次函數(shù)綜合題，利用余角的性質(zhì)得出∠BAO=∠FDO是解題關(guān)鍵；利用解方程組是求交點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)鍵，注意互相垂直的兩直線一次項(xiàng)系數(shù)的乘積為-1；利用全等三角形的判定與性質(zhì)得出MN=CM是解題關(guān)鍵，又利用了等腰三角形的性質(zhì)，等式的性質(zhì)．