Question

如圖，⊙O中，F(xiàn)G、AC是直徑，AB是弦，F(xiàn)G⊥AB，垂足為點P，過點C的直線交AB的延長線于點D，交GF的延長線于點E，已知AB=4，⊙O的半徑為．

（1）分別求出線段AP、CB的長；

（2）如果OE=5，求證：DE是⊙O的切線；

（3）如果tan∠E=，求DE的長．

　

Answer 1

 

【考點】切線的判定．

【專題】證明題．

【分析】（1）根據(jù)圓周角定理由AC為直徑得∠ABC=90°，在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理可計算出BC=2，再根據(jù)垂徑定理由直徑FG⊥AB得到AP=BP=AB=2；

（2）易得OP為△ABC的中位線，則OP=BC=1，再計算出==，根據(jù)相似三角形的判定方法得到△EOC∽△AOP，根據(jù)相似的性質得到∠OCE=∠OPA=90°，然后根據(jù)切線的判定定理得到DE是⊙O的切線；

（3）根據(jù)平行線的性質由BC∥EP得到∠DCB=∠E，則tan∠DCB=tan∠E=，在Rt△BCD中，根據(jù)正切的定義計算出BD=3，根據(jù)勾股定理計算出CD=，然后根據(jù)平行線分線段成比例定理得=，再利用比例性質可計算出DE=．

【解答】（1）解：∵AC為直徑，

∴∠ABC=90°，

在Rt△ABC中，AC=2，AB=4，

∴BC==2，

∵直徑FG⊥AB，

∴AP=BP=AB=2；

 

（2）證明∵AP=BP，AO=OC

∴OP為△ABC的中位線，

∴OP=BC=1，

∴=，

而==，

∴=，

∵∠EOC=∠AOP，

∴△EOC∽△AOP，

∴∠OCE=∠OPA=90°，

∴OC⊥DE，

∴DE是⊙O的切線；

 

（3）解：∵BC∥EP，

∴∠DCB=∠E，

∴tan∠DCB=tan∠E=

在Rt△BCD中，BC=2，tan∠DCB==，

∴BD=3，

∴CD==，

∵BC∥EP，

∴=，即=，

∴DE=．

【點評】本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了垂徑定理、圓周角定理、勾股定理和相似三角形的判定與性質．