Question

13．如圖1，拋物線y=ax²+x+3（a≠0）與x軸的負(fù)半軸交于點A（-2，0），頂點為C，點B在拋物線上，且點B的橫坐標(biāo)為10，連接AB、BC、CA，BC與x軸交于點D．

（1）求點D的坐標(biāo)；
（2）動點P在線段BC上，過點P作x軸的垂線，與拋物線交于點Q，過點Q作QH⊥BC于H，求△PQH的周長的最大值，并直接寫出此時點H的坐標(biāo)；
（3）如圖2，以AC為對角線作正方形AMCN，將正方形AMCN在平面內(nèi)平移得正方形A′M′C′N′，當(dāng)正方形A′M′C′N′有頂點在△ABC的邊AC上（不含端點）時，正方形A′M′C′N′與△ABC重疊部分得到的多邊形能否為軸對稱圖形？如果能，求出此時重疊部分的面積S的值，或重疊部分面積S的取值范圍；若不能，說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知條件先求出點B、C，再求出直線BC即可得到點D坐標(biāo)．
（2）過C作CE⊥AD垂足為E，如圖1由△CDE∽△PQH得到QH：PH：PQ=DE：CE：CD=1：2：$\sqrt{5}$，求出PQ的最大值即可得到△PQH周長的最大值．
（3）①當(dāng)A′在邊AC上時（如圖2）重疊得到的四邊形或三角形不是軸對稱圖形．
②當(dāng)點M′在AC上時（如圖3）重疊部分不構(gòu)成多邊形．
③當(dāng)C′在AC邊上時，（�。�點M′在△ABC外或AB邊上，重疊得到的等腰直角三角形是軸對稱圖形（如圖4）．點C′與點A重合時，s=0；點M′在AB邊上時，s=4故0＜s≤4．（ⅱ）點M′在△ABC內(nèi)，僅當(dāng)AC′=C′M′時重疊部分的四邊形是軸對稱圖形（如圖5），可以得到s=16$\sqrt{2}$-16．
④當(dāng)點N′在AC邊上時，僅當(dāng)C′在△ABC內(nèi)或BC邊上時，重疊部分得到的五邊形是軸對稱圖形（如圖6）得到s=8，當(dāng)點C′在BC邊上時（如圖7），作CE⊥OD垂足為E，交C′N′于F，A′N′交AB于G，可以得到s=$\frac{136}{9}$．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²+x+3經(jīng)過點A（-2，0），
∴4a-2+3=0，
∴a=-$\frac{1}{4}$，
∴拋物線解析式為y=-$\frac{1}{4}$x²+x+3，
∵y=-$\frac{1}{4}$x²+x+3=-$\frac{1}{4}$（x-2）²+4，
∴頂點C的坐標(biāo)（2，4），
在y=-$\frac{1}{4}$x²+x+3中，∵x=10，y=-12，
∴點B坐標(biāo)為（10，-12），
設(shè)直線BC解析式y(tǒng)+kx+b（k≠0），∵B、C在直線上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=4}\\{10k+b+-12}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=8}\end{array}\right.$，
∴直線BC解析式為y=-2x+8，
在y=-2x+8中，當(dāng)y=0時，x=4，
∴點D坐標(biāo)為（4，0）．
（2）過C作CE⊥AD垂足為E，如圖1，則E（2，0），

∴DE=2，CE=4，
∴CD=$\sqrt{C{E}^{2}+D{E}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴DE：CE：CD=1：2：$\sqrt{5}$，
∵CE⊥x軸，PQ⊥x軸，
∴CE∥PQ，
∴∠ECD=∠QPE，
∵∠CED=∠QHP=90°，
∴△CDE∽△PQH，
∴QH：PH：PQ=DE：CE：CD=1：2：$\sqrt{5}$，
∴QH=$\frac{\sqrt{5}}{5}$PQ，PH=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$PQ，
∴△PQH的周長=QH+PH+PQ=（1+$\frac{3\sqrt{5}}{5}$）PQ，
設(shè)P點坐標(biāo)為（x，-2x+8），則點Q坐標(biāo)（x，-$\frac{1}{4}$x²+x+3），
∴PQ=-$\frac{1}{4}$x²+x+3-（-2x+8）=-$\frac{1}{4}{x}^{2}$+3x-5=-$\frac{1}{4}$（x-6）²+4，
∴x=6時，PQ最大值=4，
∴△PQH周長最大值=4+$\frac{12\sqrt{5}}{5}$，
此時點H坐標(biāo)（$\frac{22}{5}$，-$\frac{4}{5}$）．
（3）能，理由如下：
①當(dāng)A′在邊AC上時（如圖2）重疊得到的四邊形或三角形不是軸對稱圖形．

②當(dāng)點M′在AC上時（如圖3）重疊部分不構(gòu)成多邊形．

③當(dāng)C′在AC邊上時，
（�。�點M′在△ABC外或AB邊上，重疊得到的等腰直角三角形是軸對稱圖形（如圖4）．

點C′與點A重合時，s=0；
點M′在AB邊上時，
s=$\frac{1}{2}$C′M′•$\frac{1}{2}$C′M′=4，
∴0＜s≤4．
（ⅱ）點M′在△ABC內(nèi)，僅當(dāng)AC′=C′M′時重疊部分的四邊形是軸對稱圖形（如圖5）．

∵點A′必在CA的延長線上，
∴AA′=A′C′-AC′=4$\sqrt{2}-4$，
∴s=$\frac{1}{2}$A′M′²-$\frac{1}{2}$A′A²=16$\sqrt{2}$-16．
④當(dāng)點N′在AC邊上時，僅當(dāng)C′在△ABC內(nèi)或BC邊上時，重疊部分得到的五邊形是軸對稱圖形（如圖6）．

當(dāng)點N′與A重合時，s=$\frac{1}{2}$A′M′²=8．
當(dāng)點C′在BC邊上時（如圖7），作CE⊥OD垂足為E，交C′N′于F，A′N′交AB于G，
∵N′C′∥AD，
∴△CN′C′∽△CAD，

∴$\frac{CF}{CE}=\frac{N′C′}{AD}$，
∵CE=4，N′C′=4，AD=6，
∴CF=$\frac{8}{3}$，EF=CE-CF=$\frac{4}{3}$，GA′=N′A′-2EF=$\frac{4}{3}$，
∴s=A′N′²-$\frac{1}{2}$A′G²=$\frac{136}{9}$，
∴8＜s≤$\frac{136}{9}$，
綜上所述，正方形A′M′C′N′與△ABC重疊部分得到的多邊形能為軸對稱圖形，此時，0＜s≤4或s=16$\sqrt{2}$-16或8＜s≤$\frac{136}{9}$．

點評 本題考查二次函數(shù)、一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、平移等知識，綜合性比較強(qiáng)，有難度，學(xué)會分類討論是解題的關(guān)鍵，解題中必須正確畫出圖形．