如圖所示,正方形ABCD,分別過A、C兩點作∥,作于M,于N,直線MB、ND分別交于Q、P兩點,BC平分∠QBD.
求證:四邊形PQMN是正方形.
證明:因為四邊形ABCD是正方形,BD是角平分線, 所以∠DBC=45°. 因為BC平分∠QBD, 所以∠QBC=∠DBC=45°, 所以∠QBD=90°. 因為于M點,于N點, 所以∠QMN=90°,QM∥PN, 因為∥, 所以四邊形PQMN是平行四邊形(兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形),所以PQMN是矩形(有一個角是直角的平行四邊形是矩形). 所以∠PQB=∠QBD=90°,MN=PQ, 所以DB∥FQ, 所以四邊形PDBQ是矩形, 所以∠QCB=∠QBC=45°,QB=PD, 所以QC=QB(等角對等邊). 同理PC=PD, 所以, 同理. 所以PD=DN,所以PN=PQ, 所以矩形PQMN是正方形(有一組鄰邊相等的矩形是正方形). |
先證四邊形PQMN是平行四邊形,再證是矩形,最后證是正方形. |
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A、
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B、
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C、2-
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D、
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