Question

（1）證明三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半；[要求根據(jù)圖1寫(xiě)出已知、求證、證明；在證明過(guò)程中，至少有兩處寫(xiě)出推理依據(jù)（“已知”除外）]
（2）如圖2，在?ABCD中，對(duì)角線交點(diǎn)為O，A₁、B₁、C₁、D₁分別是OA、OB、OC、OD的中點(diǎn)，A₂、B₂、C₂、D₂分別是OA₁、OB₁、OC₁、OD₁的中點(diǎn)，…，以此類(lèi)推．
若?ABCD的周長(zhǎng)為1，直接用算式表示各四邊形的周長(zhǎng)之和l；
（3）借助圖形3反映的規(guī)律，猜猜l可能是多少？

Answer 1

考點(diǎn)：三角形中位線定理,規(guī)律型：圖形的變化類(lèi),平行四邊形的性質(zhì)

專(zhuān)題：壓軸題,規(guī)律型

分析：（1）作出圖形，延長(zhǎng)DE至F，使EF=DE，然后根據(jù)“邊角邊”證明△ADE和△CFE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AD=CF，全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠A=∠ECF，再根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行可得AD∥CF，然后證明四邊形BCFD是平行四邊形，再根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行且相等可得DF∥BC且DF=BC，然后整理即可得證；
（2）根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半求出四邊形A₁B₁C₁D₁的周長(zhǎng)等于?ABCD周長(zhǎng)的一半，然后依次表示出各四邊形的周長(zhǎng)，再相加即可得解；
（3）根據(jù)規(guī)律，l的算式等于大正方形的面積減去最后剩下的一小部分的面積，然后寫(xiě)出結(jié)果即可．

解答：解：（1）已知：在△ABC中，D、E分別是邊AB、AC的中點(diǎn)，
求證：DE∥BC且DE=

1

2

BC，
證明：如圖，延長(zhǎng)DE至F，使EF=DE，
∵E是AC的中點(diǎn)，
∴AE=CE，
在△ADE和△CFE中，

DE=EF ∠AED=∠CEF AE=CE

，
∴△ADE≌△CFE（SAS），
∴AD=CF（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等），
∠A=∠ECF（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等），
∴AD∥CF，
∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，
∴AD=BD，
∴BD=CF且BD∥CF，
∴四邊形BCFD是平行四邊形（一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形），
∴DF∥BC且DF=BC（平行四邊形的對(duì)邊平行且相等），
∵DE=EF=

1

2

DF，
∴DE∥BC且DE=

1

2

BC；

（2）∵A₁、B₁、C₁、D₁分別是OA、OB、OC、OD的中點(diǎn)，
∴A₁B₁=

1

2

AB，B₁C₁=

1

2

BC，C₁D₁=

1

2

CD，A₁D₁=

1

2

AD，
∴四邊形A₁B₁C₁D₁的周長(zhǎng)=

1

2

×1=

1

2

，
同理可得，四邊形A₂B₂C₂D₂的周長(zhǎng)=

1

2

×

1

2

=

1

4

，
四邊形A₃B₃C₃D₃的周長(zhǎng)=

1

2

×

1

4

=

1

8

，
…，
∴四邊形的周長(zhǎng)之和l=1+

1

2

+

1

4

+

1

8

+…；

（3）由圖可知，

1

2

+

1

4

+

1

8

+…=1（無(wú)限接近于1），
所以l=1+

1

2

+

1

4

+

1

8

+…=2（無(wú)限接近于2）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半的證明，利用面積法求等比數(shù)列的和，平行四邊形的判定與性質(zhì)，（1）作輔助線構(gòu)造出全等三角形的和平行四邊形是解題的關(guān)鍵，（3）仔細(xì)觀察圖形得到部分與整體的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．