Question

如圖所示，在形狀和大小不確定的△ABC中，BC=6，E、F分別是AB．AC的中點，P在EF或EF的延長線上，BP交CE于D，Q在CE上且BQ平分∠CBP，設(shè)BP=y，PE=x．

（1）當(dāng)x=EF時，求S_△DPE：S_△DBC的值；

（2）當(dāng)CQ=CE時，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）①當(dāng)CQ=CE時，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

     ②當(dāng)CQ=CE（n為不小于2的常數(shù)）時，直接寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）∵E、F分別是AB．AC的中點，x=EF，

∴EF∥BC，且EF=BC，

∴△EDP∽△CDB，

∴=，

∴S_△DPE：S_△DBC=1：36；

（2）如右圖，設(shè)CQ=a，DE=b，BD=c，則DP=y﹣c；

不妨設(shè)EQ=kCQ=ka（k＞0），則DQ=ka﹣b，CD=（k+1）a﹣b．

過Q點作QM⊥BC于點M，作QN⊥BP于點N，

∵BQ平分∠CBP，∴QM=QN．

∴，

又∵，

∴，即 ①

∵EP∥BC，∴，即 ②

∵EP∥BC，∴，即 ③

由①②③式聯(lián)立解得：y=6k﹣x ④

當(dāng)CQ=CE時，k=1，∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：y=6﹣x．

（3）當(dāng)CQ=CE時，k=2，由（2）中④式可知，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：y=12﹣x；

當(dāng)CQ=CE（n為不小于2的常數(shù)）時，k=n﹣1，由（2）中④式可知，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：y=6（n﹣1）﹣x；

【解析】（1）根據(jù)中位線定理、相似三角形的判定與性質(zhì)可以求得S_△DPE：S_△DBC的值；[來源:學(xué)*科*網(wǎng)Z*X*X*K]

（2）（3）問的解答，采用一般到特殊的方法．解答中首先給出了一般性結(jié)論的證明，即當(dāng)EQ=kCQ（k＞0）時，y與x滿足的函數(shù)關(guān)系式為：y=6k﹣x；然后將該關(guān)系式應(yīng)用到第（2）（3）問中求解．在解題過程中，充分利用了相似三角形比例線段之間的關(guān)系．另外，利用角平分線上的點到角兩邊的距離相等的性質(zhì)得出了一個重要結(jié)論（（2）中①式子），該結(jié)論在解題過程中發(fā)揮了重要作用．