Question

【題目】如圖，⊙O的半徑是2，弦AB=，點(diǎn)C為是優(yōu)弧AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，BD⊥BC交直線AC于點(diǎn)D，則△ABD的面積的最大值為___________ .

Answer 1

【答案】3

【解析】

連結(jié)OA，如圖，∠AOB=120°，根據(jù)圓周角定理得∠ACB=∠AOB=60°，由于BC⊥BD，所以∠D=30°，因?yàn)?/span>AB=，則要使△ABD的最大面積，點(diǎn)D到AB的距離要最大；當(dāng)點(diǎn)D在⊙M上的優(yōu)弧AB的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)D到AB的距離最大，從而得到△ABD的最大面積．

解：連結(jié)OA，過點(diǎn)O作OE垂直AB，交AB與點(diǎn)E

已知⊙O的半徑是2，弦AB=，BE⊥BC，根據(jù)垂徑定理和勾股定理可得

OE=1，AE=，sin∠OAE=

∴∠OAE=∠OBE=30°

（同弧所對的圓周角是圓心角的一半）

∠ADB =30°，點(diǎn)D在以AB為弦的⊙M上運(yùn)動(dòng)，

∠BMA=60°，

AB=MB=DM=MA=，

當(dāng)點(diǎn)D在優(yōu)弧AB的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)D到AB的距離最大，從而得到△ABD的最大面積．

過點(diǎn)D作DN⊥AB于點(diǎn)N

故答案為.