(2013•遵義)如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(4,-
23
),且與y軸交于點(diǎn)C(0,2),與x軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊).
(1)求拋物線的解析式及A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)在(1)中拋物線的對(duì)稱(chēng)軸l上是否存在一點(diǎn)P,使AP+CP的值最。咳舸嬖,求AP+CP的最小值,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)以AB為直徑的⊙M相切于點(diǎn)E,CE交x軸于點(diǎn)D,求直線CE的解析式.
分析:(1)利用頂點(diǎn)式求得二次函數(shù)的解析式后令其等于0后求得x的值即為與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)的橫坐標(biāo);
(2)線段BC的長(zhǎng)即為AP+CP的最小值;
(3)連接ME,根據(jù)CE是⊙M的切線得到ME⊥CE,∠CEM=90°,從而證得△COD≌△MED,設(shè)OD=x,在RT△COD中,利用勾股定理求得x的值即可求得點(diǎn)D的坐標(biāo),然后利用待定系數(shù)法確定線段CE的解析式即可.
解答:解:(1)由題意,設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-4)2-
2
3
(a≠0)
∵拋物線經(jīng)過(guò)(0,2)
∴a(0-4)2-
2
3
=2
解得:a=
1
6

∴y=
1
6
(x-4)2-
2
3

即:y=
1
6
x2-
4
3
x+2
當(dāng)y=0時(shí),
1
6
x2-
4
3
x+2=0
解得:x=2或x=6
∴A(2,0),B(6,0);

(2)存在,
如圖2,由(1)知:拋物線的對(duì)稱(chēng)軸l為x=4,
因?yàn)锳、B兩點(diǎn)關(guān)于l對(duì)稱(chēng),連接CB交l于點(diǎn)P,則AP=BP,所以AP+CP=BC的值最小
∵B(6,0),C(0,2)
∴OB=6,OC=2
∴BC=2
10
,
∴AP+CP=BC=2
10

∴AP+CP的最小值為2
10


(3)如圖3,連接ME
∵CE是⊙M的切線
∴ME⊥CE,∠CEM=90°
由題意,得OC=ME=2,∠ODC=∠MDE
∵在△COD與△MED中
∠COA=∠DEM
∠ODC=∠MDE
OC=ME

∴△COD≌△MED(AAS),
∴OD=DE,DC=DM
設(shè)OD=x
則CD=DM=OM-OD=4-x
則RT△COD中,OD2+OC2=CD2,
∴x2+22=(4-x)2
∴x=
3
2

∴D(
3
2
,0)
設(shè)直線CE的解析式為y=kx+b(k≠0),
∵直線CE過(guò)C(0,2),D(
3
2
,0)兩點(diǎn),
3
2
k+b=0
b=2

解得:
k=-
4
3
b=2

∴直線CE的解析式為y=-
4
3
x
+2;
點(diǎn)評(píng):本題考查了二次函數(shù)的綜合知識(shí),特別是用頂點(diǎn)式求二次函數(shù)的解析式,更是中考中的?純(nèi)容,本題難度偏大.
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