Question

20．如圖，在菱形ABCD中，AB=4cm，∠BAD=60°．動(dòng)點(diǎn)E、F分別從點(diǎn)B、D同時(shí)出發(fā)，以1cm/s的速度向點(diǎn)A、C運(yùn)動(dòng)，連接AF、CE，取AF、CE的中點(diǎn)G、H，連接GE、FH．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts（0＜t＜4）．
（1）求證：AF∥CE；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形EHFG為菱形；
（3）試探究：是否存在某個(gè)時(shí)刻t，使四邊形EHFG為矩形，若存在，求出t的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)菱形的性質(zhì)得到∠B=∠D，AD=BC，AB∥DC，推出△ADF≌△CBE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠DFA=∠BEC，根據(jù)平行線的判定定理即可得到結(jié)論；
（2）過(guò)D作DM⊥AB于M，連接GH，EF，推出四邊形AECF是平行四邊形，根據(jù)菱形的判定定理即可得到四邊形EGFH是菱形，證得四邊形DMEF是矩形，于是得到ME=DF=t列方程即可得到結(jié)論；
（3）不存在，假設(shè)存在某個(gè)時(shí)刻t，使四邊形EHFG為矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)列方程即可得到結(jié)果．

解答 （1）證明：
∵動(dòng)點(diǎn)E、F同時(shí)運(yùn)動(dòng)且速度相等，
∴DF=BE，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠B=∠D，AD=BC，AB∥DC，
在△ADF與△CBE中，$\left\{\begin{array}{l}{DF=BE}\\{∠B=∠D}\\{AD=BC}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△CBE，
∴∠DFA=∠BEC，
∵AB∥DC，
∴∠DFA=∠FAB，
∴∠FAB=∠BEC，
∴AF∥CE；

（2）過(guò)D作DM⊥AB于M，連接GH，EF，
∴DF=BE=t，
∵AF∥CE，AB∥CD，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∵G、H是AF、CE的中點(diǎn)，
∴GH∥AB，
∵四邊形EGFH是菱形，
∴GH⊥EF，
∴EF⊥AB，∠FEM=90°，
∵DM⊥AB，
∴DM∥EF，
∴四邊形DMEF是矩形，
∴ME=DF=t，
∵AD=4，∠DAB=60°，DM⊥AB，
∴AM=$\frac{1}{2}$AD=2，
∴BE=4-2-t=t，
∴t=1，

（3）不存在，假設(shè)存在某個(gè)時(shí)刻t，使四邊形EHFG為矩形，
∵四邊形EHFG為矩形，
∴EF=GH，
∴EF²=GH²，
即（2-2t）²+（2$\sqrt{3}$）²=（4-t）²，
解得t=0，0＜t＜4，
∴與原題設(shè)矛盾，
∴不存在某個(gè)時(shí)刻t，使四邊形EHFG為矩形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，平行線的判定，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．