Question

已知：如圖△ABC是邊長為4的等邊三角形，點P、Q分別從A、C兩點同時出發(fā)，速度為每秒1個單位長度，B與原點重合，PQ交AC于D．
（1）寫出點A的坐標

（2，2

3

）

；
（2）當△DCQ為等腰三角形時，求t的值；
（3）若△PCQ的面積為S，P、Q運動的時間為t秒，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并求S的最大值．

Answer 1

分析：（1）過點A作AE⊥OC于點E，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，可得出OE、AE的長度，繼而得出點A的坐標；
（2）△DCQ為等腰三角形，則可得∠PQO=30°，則△POQ是含30°角的直角三角形，根據(jù)OQ=2OP，可得出t的值；
（3）過點P作PF⊥OC于點F，先表示出OP，在Rt△OPF中表示出PF，繼而可表示出△PCQ的面積，利用配方法求最值即可．

解答：解：（1）過點A作AE⊥OC于點E，
∵△ABC是等邊三角形，
∴OE=

1

2

OA=2，AE=

3

OE=2

3

，
∴點A的坐標為（2，2

3

）；

（2）∵△CDQ為等腰三角形，∠DCQ=120°，
∴∠CDQ=∠CQD=30°，
又∵∠AOC=60°，
∴△OPQ為直角三角形，
∴OQ=2OP，即4+t=2（4-t），
解得：t=

4

3

；

（3）過點P作PF⊥OC于點F，
∵OP=4-t，∠OPE=30°，
∴OF=

4-t

2

，PF=

3

OF=

4 3 - 3 t

2

，
∴S_△PCQ=

1

2

CQ×PF=

1

2

×t×

4 3 - 3 t

2

=-

3

4

t²+

3

t=-

3

4

（t-2）²+

3

，
∴當t=2時，△PCQ的面積最大，S的最大值為

3

．

點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合，涉及了動點問題、等邊三角形的性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)及配方法求二次函數(shù)最值的知識，解答本題關(guān)鍵是基本知識的融會貫通．