如圖,海中有一小島P,在距小島P的16
2
海里范圍內(nèi)有暗礁,一輪船自西向東航行,它在A處時測得小島P位于北偏東60°,且A、P之間的距離為32海里,若輪船繼續(xù)向正東方向航行,輪船有無觸礁危險?請通過計算加以說明.如果有危險,輪船自A處開始至少沿東偏南多少度方向航行,才能安全通過這一海域?
分析:過P作PB⊥AM于B,則PC的長是A沿AM方向距離P點的最短距離,求出PC長和16
2
比較即可,第二問設(shè)出航行方向,利用特殊角的三角函數(shù)值確定答案.
解答:解:過P作PB⊥AM于B,

在Rt△APB中,∵∠PAB=30°,
∴PB=
1
2
AP=
1
2
×32=16海里,
∵16<16
2
,
故輪船有觸礁危險.
為了安全,應該變航行方向,并且保證點P到航線的距離不小于暗礁的半徑16
2
海里,即這個距離至少為16
2
海里,
設(shè)安全航向為AC,作PD⊥AC于點D,

由題意得,AP=32海里,PD=16
2
海里,
∵sin∠PAC=
PD
AP
=
16
2
32
=
2
2
,
∴在Rt△PAC中,∠PAC=45°,
∴∠BAC=∠PAC-∠PAB=45°-30°=15°.
答:輪船自A處開始至少沿東偏南15°度方向航行,才能安全通過這一海域.
點評:本題考查了解直角三角形的應用,關(guān)鍵是如何構(gòu)造直角三角形并知道求哪一條線段的長,題目比較典型,是一道比較好的題目.
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(2012•鄂爾多斯)如圖,海中有一小島P,在距小島24
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海里范圍內(nèi)有暗礁,一輪船自西向東航行,它在A處測得小島P位于北偏東45°,且A,P之間的距離為48海里,若輪船繼續(xù)向正東方向航行,有無觸礁的危險?請通過計算加以說明.如果有危險,輪船自A處開始至少沿東偏南多少度方向航行,才能安全通過這一海域?

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(2012•天門)如圖,海中有一小島B,它的周圍15海里內(nèi)有暗礁.有一貨輪以30海里/時的速度向正北航行,當它航行到A處時,發(fā)現(xiàn)B島在它的北偏東30°方向,當貨輪繼續(xù)向北航行半小時后到達C處,發(fā)現(xiàn)B島在它的東北方向.問貨輪繼續(xù)向北航行有無觸礁的危險?(參考數(shù)據(jù):
3
≈1.7,
2
≈1.4)

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