Question

如圖，二次函數(shù)的圖象與一次函數(shù)y₂=x+b的圖象交于A（0，1），B兩點．C（1，0）為二次函數(shù)圖象的頂點．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）定義函數(shù)f：“當自變量x任取一值時，x對應的函數(shù)值分別為y₁或y₂，若y₁≠y₂，函數(shù)f的函數(shù)值等于y₁、y₂中的較小值；若y₁=y₂，函數(shù)f的函數(shù)值等于y₁（或y₂）．”當直線（k＞0）與函數(shù)f的圖象只有兩個交點時，求k的值．

Answer 1

解：（1）設拋物線解析式為y=a（x-1）²，
由拋物線過點A（0，1），可得y=x²-2x+1；
（2）將y=x²-2x+1與y=x+1聯(lián)立解得：x=0，y=1或x=3，y=4，即B（3，4），
直線y=kx-（k＞0）與函數(shù)f的圖象只有兩個交點共有三種情況：
①直線y=kx-與直線AB：y=x+1平行，此時k=1；
②直線y=kx-過點B（3，4），此時k=；
③直線y=kx-與二次函數(shù)y=x²-2x+1的圖象只有一個交點，
此時有，
消元y得：x²-2x+1=kx-，
由△=0，可得k₁=-2，k₂=--2（舍去），
綜上：k=1，k=，k=-2．
分析：（1）設拋物線解析式為y=a（x-1）²，將A坐標代入求出a的值，即可確定出解析式；
（2）聯(lián)立拋物線與一次函數(shù)解析式求出B坐標，分①直線y=kx-與直線AB：y=x+1平行；②直線y=kx-過點B（3，4）；③直線y=kx-與二次函數(shù)y=x²-2x+1的圖象只有一個交點，三種情況求出k的值即可．
點評：此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，以及二次函數(shù)的性質，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關鍵．