Question

2．如圖，在△ABD中，O為AB的中點(diǎn)，C為DO延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，∠ACO=135°，∠ODB=45°，探究OD，OC，AC之間相等的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

分析 由條件∠ACO=135°，∠ODB=45°想到角度轉(zhuǎn)移，而O點(diǎn)又是中點(diǎn)，于是想到中線倍長(zhǎng)，即延長(zhǎng)DO至E，使OE=OD，則△DBO≌△EAO，從而∠AEO=∠BDO=45°，進(jìn)而得△AEC是等腰直角三角形，于是CE=2AC，而EC=OE-OC=OD-OC，結(jié)論顯然．

解答 解：延長(zhǎng)DO至E，使OE=OD，如圖，

在△DBO和△EAO中，
$\left\{\begin{array}{l}{DO=EO}\\{∠DOB=∠EOA}\\{BO=AO}\end{array}\right.$
∴△DBO≌△EAO（SAS），
∴∠AEO=∠BDO=45°，
∵∠ACO=135°，
∴∠ACE=45°，
∴△AEC是等腰直角三角形，
∴CE=$\sqrt{2}$AC，
∵EC=OE-OC=OD-OC，
∴OD-OC=$\sqrt{2}$AC．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、補(bǔ)角的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，難度中等．中線倍長(zhǎng)是初中幾何常用輔助線手段，務(wù)必熟練掌握．