Question

已知：如圖1，射線MN⊥AB，點(diǎn)C從M出發(fā)，沿射線MN運(yùn)動，AM=1，MB=4．
（1）當(dāng)△ABC為等腰三角形時，求MC的長；
（2）當(dāng)△ABC為直角三角形時，求MC的長；
（3）點(diǎn)C在運(yùn)動的過程中，若△ABC為鈍角三角形，則MC的長度范圍

 

；若△ABC為銳角三角形，則MC的長度范圍

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：勾股定理,線段垂直平分線的性質(zhì)

專題：動點(diǎn)型

分析：（1）如圖1，分CB=AB，AB=AC，AC=BC三種情況進(jìn)行討論即可；
（2）當(dāng)∠ACB=90°時，由勾股定理得AC²+BC²=AB²，在Rt△MCA中，由勾股定理得：AC²=AM²+CM²；在Rt△MCB中，由勾股定理得：BC²=BM²+CM²，故AM²+CM²+BM²+CM²=AB²，由此可得出CM的長；
（3）根據(jù)（2）中CM的長即可得出結(jié)論．

解答：解：（1）如圖1，
當(dāng)CB=AB時，在Rt△MCB，
∵M(jìn)B=4，AM=1，
∴AB=5，
∴CM=

52-42

=3；
當(dāng)AB=AC時，
在Rt△MCA，
CM=

52-12

=

24

；
當(dāng)AC=BC時，C在AB的垂直平分線上，與條件不合．

（2）如圖，∵當(dāng)∠ACB=90°時，由勾股定理得AC²+BC²=AB²，
又∵在Rt△MCA，由勾股定理得：AC²=AM²+CM²，
在Rt△MCB由勾股定理得：BC²=BM²+CM²，
∴AM²+CM²+BM²+CM²=AB²，
∵AM=1，MB=4，AB=5，
∴CM²+16=25，解得CM=2；

（3）∵由（2）得，當(dāng)CM=2時，△ABC是直角三角形，
∴0＜CM＜2時，△ABC為鈍角三角形；當(dāng)CM＞2時，△ABC為銳角三角形．
故答案為：0＜CM＜2，CM＞2．

點(diǎn)評：本題考查的是勾股定理，熟知在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方是解答此題的關(guān)鍵．