Question

5．如圖，F(xiàn)E⊥AB于點E，AC⊥BF于點C，連結(jié)AF，EC，點M，N分別為AF，EC的中點，連結(jié)ME，MC．
（1）求證：ME=MC．
（2）連結(jié)MN，若MN=8，EC=12，求AF的長．

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)FE⊥AB于點E，AC⊥BF于點C可得△AEF和△ACF是直角三角形，再根據(jù)在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半可得結(jié)論；
（2）首先連接MN，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得MN⊥EC，再利用勾股定理計算出MC的長，然后再計算AF長即可．

解答 （1）證明：∵FE⊥AB，
∴∠AEF=90°，
∵M為AF中點，
∴EM=$\frac{1}{2}$AF，
∵AC⊥BF，
∴∠ACF=90°，
∴CM=$\frac{1}{2}$AF，
∴EM=CM；

（2）解：∵N為EC中點，EM=CM，
∴MN⊥EC，CN=$\frac{1}{2}$EC，
∵EC=12，
∴CN=6，
∵MN=8，
∴MC=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∴AF=20．

點評 此題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，以及等腰三角形性質(zhì)和勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．