Question

如圖，已知直線L₁的解析式為y=1.5x+6，直線L₁與x軸、y軸分別相交于A、B兩點(diǎn)，直線L₂經(jīng)過B、C兩點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（8，0），又已知點(diǎn)P在x軸上從點(diǎn)A向點(diǎn)C移動(dòng)，點(diǎn)Q在直線L₂從點(diǎn)C向點(diǎn)B移動(dòng)（一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)，另一點(diǎn)即停止運(yùn)動(dòng)）．點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，移動(dòng)的速度都為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）求直線L₂的解析式；
（2）設(shè)△PCQ的面積為S，請(qǐng)求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）是否存在某一時(shí)刻，當(dāng)過P、Q兩點(diǎn)的直線平分△OCB的周長(zhǎng)時(shí)，△PCQ的面積達(dá)到最大？若存在，求出此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（4）試探究：當(dāng)t為何值時(shí)，△PCQ為等腰三角形？

Answer 1

【答案】分析：（1）因?yàn)橹本�L₁的解析式為y=1.5x+6，直線L₁與x軸、y軸分別相交于A、B兩點(diǎn)，所以分別令y=0，x=0，即可求出A、B的坐標(biāo)，又因直線L₂經(jīng)過B、C兩點(diǎn)，B的坐標(biāo)已經(jīng)求出，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（8，0），所以利用待定系數(shù)法結(jié)合方程組即可求出L₂的解析式；
（2）要求△PCQ的面積S，需求出PC上的高，因此需過點(diǎn)Q作QE⊥AC于點(diǎn)E，因?yàn)镺B=6，OC=8，利用勾股定理可得BC=10，PC=12-t•1，因?yàn)镼E⊥AC，BO⊥AC，所以可得△QCE∽△BOC，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比等于相似比可得=，所以QE=t，S=PC•QE=（12-t）•t，整理即可；
（3）由（2）知S=-t²+t=-（t-6）²+10.8，利用二次函數(shù)最值的求法可知當(dāng)t=6時(shí)，S有最大值，最大值為10.8，此時(shí)CP=6，CQ=6，L_△CBO=6+8+10=24，利用CP+CQ=12，從而可判斷此時(shí)直線PQ將三角形的周長(zhǎng)平分，接下來求Q的坐標(biāo)：
由（2）中△QCE∽△BOC，可得==，即==．所以QE=，CE=，OE=，即點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，）；
（4）因?yàn)椤鱌CQ為等腰三角形，所以需分情況討論：
①當(dāng)CP=CQ時(shí)，△PQC為等腰三角形，因?yàn)锳P=CQ=t，CP=12-t，所以t=12-t，解之即可；
②當(dāng)PQ=CQ時(shí)，因?yàn)镼E⊥OC，所以CE=OE=（12-t），利用△CQE∽△CBO，可得=，代入相關(guān)數(shù)據(jù)即可求出t的值；
③當(dāng)PQ=CP時(shí)，△PQC為等腰三角形，可過點(diǎn)P作PH⊥BC于點(diǎn)H，利用等腰三角形的三線合一可得CH=HQ=t，因?yàn)椤螩HP=∠COB=90°，∠PCH=∠BCO，可得△CHP∽△COB，所以=，代入相關(guān)數(shù)據(jù)即可求出t的值．
解答：解：（1）y=-x+6．

（2）過點(diǎn)Q作QE⊥AC于點(diǎn)E，
OB=6，OC=8，∴BC=10，PC=12-t•1，
QE⊥AC，BO⊥AC，∴△QCE∽△BOC，
∴=，=，∴QE=t=，
∴S=PC•QE=（12-t）•t=-t²+t．

（3）存在，
S=-t²+t=-（t-6）²+10.8，
∴當(dāng)t=2時(shí)，S有最大值，最大值為10.8，此時(shí)CP=6，CQ=6，
∴L_△CBO=6+8+10=24，∴CP+CQ=12，
△QCE∽△BOC，∴==，即==．
∴QE=，CE=，
∴OE=，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，）．

（4）①當(dāng)CP=CQ時(shí)，△PQC為等腰三角形；
∵AP=CQ=t，CP=12-t，
∴t=12-t，即t=6，當(dāng)PQ=CQ時(shí)，△PQC為等腰三角形；
②PQ=CQ，QE⊥OC，
∴CE=PE=（12-t）
∵△CQE∽△CBO，
∴=，即=，
∴t=；
③當(dāng)PQ=CP時(shí)，△PQC為等腰三角形，過點(diǎn)P作PH⊥BC于點(diǎn)H，
則CH=HQ=t，∠CHP=∠COB=90°，∠PCH=∠BCO，∴△CHP∽△COB，
∴=，即=，∴t=．
綜上所述t=6，t=，t=時(shí)，△PQC為等腰三角形．
點(diǎn)評(píng)：本題是一道綜合性較強(qiáng)的題目，需仔細(xì)分析題意，利用一次函數(shù)和相似三角形的知識(shí)來解決問題，另外要注意解決這類問題常用到分類討論、數(shù)形結(jié)合、方程和轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法．