Question

在△ABC中，∠C=Rt∠，AC=4cm，BC=5cm，點(diǎn)D在BC上，且以CD=3cm，現(xiàn)有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A和點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，其中點(diǎn)P以1cm/s的速度，沿AC向終點(diǎn)C移動(dòng)；點(diǎn)Q以1.25cm/s的速度沿BC向終點(diǎn)C移動(dòng)．過點(diǎn)P作PE∥BC交AD于點(diǎn)E，連接EQ．設(shè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒．
（1）AE=

5

4

x

；DE=

5-

5

4

x

．（用含x的代數(shù)式表示的長度）
（2）當(dāng)x為何值時(shí)，四邊形PCQE為矩形；
（3）當(dāng)x為何值時(shí)，△EDQ為等腰三角形．
（4）在點(diǎn)Q，E運(yùn)動(dòng)過程中，直線QE與AB是否能平行？（直接作答）

Answer 1

分析：（1）利用勾股定理列式求出AD，再根據(jù)PE∥BC判斷出△AEP和△ADC相似，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求解即可得到AE，然后用DE=AD-AE計(jì)算即可得解；
（2）表示出CQ，PE，然后根據(jù)矩形的對邊相等可得PE=CQ，然后解方程即可得解；
（3）先驗(yàn)證點(diǎn)Q在BD上時(shí)，△EDQ不可能是等腰三角形，然后表示出點(diǎn)Q在CD上時(shí)DQ的長度，再分①DQ=DE時(shí)，列出方程求解即可；②DQ=EQ時(shí)，過點(diǎn)Q作QF⊥AD于F，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)表示出DF，再利用∠ADC的余弦值列式進(jìn)行計(jì)算即可得解；③DE=EQ時(shí)，過點(diǎn)E作EG⊥CD，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)表示出DG，再利用∠ADC的余弦值列式進(jìn)行計(jì)算即可得解；
（4）假設(shè)存在QE∥AB，先判定出△ABD和△EQD相似，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式進(jìn)行計(jì)算即可得解．

解答：解：（1）∵AC=4cm，CD=3cm，∠C=90°，
∴AD=

AC2+CD2

=

32+42

=5cm，
∵PE∥BC，
∴△AEP∽△ADC，
∴

AE

AD

=

AP

AC

，
即

AE

5

=

x

4

，
解得AE=

5

4

x，
DE=AD-AE=5-

5

4

x；

（2）∵點(diǎn)Q的速度是1.25cm/s，
∴CQ=BC-BQ=5-1.25x，
∵△AEP∽△ADC，
∴

PE

CD

=

AP

AC

，
即

PE

3

=

x

4

，
解得PE=

3

4

x，
要使四邊形PCQE為矩形，
則PE=CQ，
即

3

4

x=5-1.25x，
解得x=

5

2

，
所以，x=

5

2

秒時(shí)，四邊形PCQE為矩形；

（3）點(diǎn)Q在BD上時(shí)，DQ=BD-BQ=2-1.25x，
△EDQ為等腰三角形時(shí)，DQ=ED，
所以，2-1.25x=5-

5

4

x，方程無解，
所以，點(diǎn)Q不可能在BD上，只能在CD上，才可使△EDQ為等腰三角形，
此時(shí)，DQ=BQ-BD=1.25x-2，

①如圖1，DQ=DE時(shí)，1.25x-2=5-

5

4

x，
解得x=

14

5

；
②如圖2，DQ=EQ時(shí)，過點(diǎn)Q作QF⊥AD于F，
則DF=

1

2

DE=

1

2

（5-

5

4

x）=

5

2

-

5

8

x，
cos∠ADC=

5 2 - 5 8 x

1.25x-2

=

3

5

，
解得x=

148

55

；

③如圖3，DE=EQ時(shí)，過點(diǎn)E作EG⊥CD，
則DG=

1

2

DQ=

1

2

（1.25x-2）=

5

8

x-1，
cos∠ADC=

5 8 x-1

5- 5 4 x

=

3

5

，
解得x=

32

11

，
綜上所述，x為

14

5

秒或

148

55

或

32

11

秒時(shí)，△EDQ為等腰三角形；

（4）假設(shè)存在QE∥AB，則△ABD∽△EQD，
所以，

DE

AD

=

DQ

BD

，
即

5- 5 4 x

5

=

2-1.25x

2

，
解得x=0，
所以，在點(diǎn)Q，E運(yùn)動(dòng)過程中，不能使直線QE與AB平行．

點(diǎn)評(píng)：本題是對相似三角形的綜合考查，主要利用了勾股定理，矩形的對邊相等的性質(zhì)，相似三角形對應(yīng)邊成比例，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，（3）根據(jù)等腰三角形腰的不同分情況討論是本題的難點(diǎn)．