Question

一座拱橋，橋下水面寬度AB是20米，拱高CD是4米，若水面上升3米至EF處，則水面寬度EF是多少米？
（1）若把拱橋看作是拋物線的一部分，建立如圖1坐標，求EF？
（2）若把拱橋看做是圓的一部分，則可構造圖形，如圖2所示，求EF？

Answer 1

考點：垂徑定理的應用,勾股定理

專題：

分析：（1）設拋物線的解析式為y=ax²+c（a≠0），再根據垂徑定理求出A，D的坐標，代入拋物線的解析式求出a、c的值，再把y=3代入即可得出x的值，進而得出EF的長；
（2）設圓的半徑是r米，在Rt△OCB中，易知r²=（r-4）²+10²，求出r的值，在Rt△OGF中根據勾股定理求出GF的長，進而可得出EF的長．

解答：解：（1）設拋物線的解析式為y=ax²+c（a≠0），
∵AB是20米，
∴AC=10米，拱高CD是4米，
∴A，D的坐標分別是（-10，0），（0，4）
把這兩點的坐標代入解析式得，

100a+c=0 c=4

解得a=-

1

25

，c=4，
則解析式是y=-

1

25

x²+4．
把y=3代入解析式解得x=±5，
∴EF=10米；

（2）設圓的半徑是r米，在Rt△OCB中，
∵OB²=BC²+OC²，即r²=（r-4）²+10²，解得r=14.5，
∴OF=14.5，OG=14.5-1=13.5，
∴GF²=OF²-OG²，即GF²=14.5²-13.5²=28，
∴GF=2

7

，此時水面寬度EF=4

7

米．

點評：本題考查的是垂徑定理的應用，這類題中一般使用列方程的方法，這種用代數方法解決幾何問題即幾何代數解的數學思想方法一定要掌握．