Question

（2006•永州）在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠C=45°，AD=3，CD=7，點(diǎn)P是BC邊上的一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合），過點(diǎn)D作DE⊥AP，垂足為E．
（1）求AB的長(zhǎng)；
（2）設(shè)AP=x，DE=y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量x的取值范圍；
（3）延長(zhǎng)DE交AB于點(diǎn)F，連接PF，當(dāng)△ADE為等腰直角三角形時(shí)，求sin∠FPA的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）過D作DG⊥BC，垂足為G，已知CD=7及∠C=45°，根據(jù)三角函數(shù)可求得AB的長(zhǎng)．
（2）已知∠B=∠AED=90°，AD∥BC，得到∠DAE=∠APB，根據(jù)有兩組角相等的兩個(gè)三角形相似得到△ABP∽△DEA，從而得到對(duì)應(yīng)邊成比例即，從而可得到自變量x的取值范圍．
（3）根據(jù)題意可得到AE=DE=EF，從而可求得AP、PE，根據(jù)勾股定理求得PF的長(zhǎng)，此時(shí)再求sin∠FPA的值就不難了．
解答：解：（1）過D作DG⊥BC，垂足為G．（1分）
AB=DG=CDsinC=7×．（3分）

（2）∵∠B=∠AED=90°，AD∥BC
∴∠DAE=∠APB
∴△ABP∽△DEA（4分）
∴，，．（5分）
取值范圍是．（6分）

（3）由題意知：AE=DE=EF=ADsin45°=3=3．（7分）
∴AP==7，PE=7-3=4．（8分）
PF=，（9分）
∴sin∠FPA=．（10分）
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查學(xué)生對(duì)相似三角形的判定及解直角三角形的理解及運(yùn)用．