Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BC=4，點(diǎn)M是AD的中點(diǎn)，△MBC是等邊三角形．
（1）求證：梯形ABCD是等腰梯形；
（2）動點(diǎn)P、Q分別在線段BC和MC上運(yùn)動，且∠MPQ=60°不變．PC=x，MQ=y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在（2）中：①當(dāng)y最小值時(shí)，判斷△PQC的形狀，并說明理由．②當(dāng)動點(diǎn)P、Q運(yùn)動到何處時(shí)，以點(diǎn)P、M和點(diǎn)A、B、C、D中的兩個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？并指出符合條件的平行四邊形的個(gè)數(shù)．

Answer 1

（1）證明：∵△MBC是等邊三角形，
∴MB=MC，∠MBC=∠MCB=60°，
∵M(jìn)是AD中點(diǎn)，
∴AM=MD
∵AD∥BC，
∴∠AMB=∠MBC=60°，∠DMC=∠MCB=60°．
∴△AMB≌△DMC，
∴AB=DC，
∴梯形ABCD是等腰梯形．

（2）解：在等邊三角形MBC中，MB=MC=BC=4，∠MBC=∠MCB=60°，∠MPQ=60°，
∴∠BMP+∠BPM=∠BPM+∠QPC=120°，
∴∠BMP=∠QPC，
∴△BMP∽△CPQ，
∴PC：BM=CQ：BP
∵PC=x，MQ=y，則BP=4-x，QC=4-y，
∴=，
∴y=x²-x+4=（x-2）²+3，
即MQ的最小值為3；

（3）解：①△PQC為直角三角形，
由（2）知，當(dāng)MQ取最小值時(shí)，x=PC=2．
∴P是BC的中點(diǎn)，MP⊥BC，而∠MPQ=60°，
∴∠CPQ=30°，
∴∠PQC=90°，
②當(dāng)BP=1時(shí)，有BP平行且等于AM，BP平行且等于MD，則四邊形ABPM四邊形MBPD均為平行四邊形．
當(dāng)BP=3時(shí)，
∵PC平行且等于AM，PC平行且等于MD，
∴四邊形MPCD和四邊形APCM均為平行四邊形．
∴當(dāng)BP=1或BP=3時(shí)，以點(diǎn)P、M和A、B、C、D中的兩個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，
此時(shí)平行四邊形有2個(gè)．
分析：（1）需證△AMB≌△DMC，可得AB=DC，可得梯形ABCD是等腰梯形；
（2）可證△BPM∽△CQP，則PC：BM=CQ：BP，PC=x，MQ=y，BP=4-x，QC=4-y，即可得到BP與CQ的關(guān)系，從而轉(zhuǎn)化成y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）先利用二次函數(shù)求最值，求出y取最小值時(shí)x的值和y的最小值，從而確定P、Q的位置，判斷出△PQC的形狀．應(yīng)考慮四邊形ABPM和四邊形MBPD均為平行四邊形，四邊形MPCD和四邊形APCM均為平行四邊形時(shí)的情況．
點(diǎn)評：本題考查了本題考查平行四邊形、直角三角形和等腰梯形的判定以及相似三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用．還考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng)，求函數(shù)最小值等知識點(diǎn)．要會利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來．