Question

如圖，已知正方形ABCD的邊長是2，E是AB的中點(diǎn)，延長BC到點(diǎn)F使CF=AE．
（1）求證：△ADE≌△CDF．
（2）把△DCF向左平移，使DC與AB重合，得△ABH，AH交ED于點(diǎn)G．請判斷AH與ED的位置關(guān)系，并說明理由．
（3）求AG的長．

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理

專題：

分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AD=DC，∠BAD=∠DCF=90°，然后利用“邊角邊”證明△ADE和△CDF全等即可；
（2）根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠1=∠2，再根據(jù)平移的性質(zhì)可得∠2=∠3，從而得到∠1=∠3，再求出∠1+∠4=90°，然后求出∠AGD=90°，再根據(jù)垂直的定義證明即可；
（3）根據(jù)中點(diǎn)的定義求出AE，再利用勾股定理列式求出DE，然后根據(jù)△ADE的面積列出方程求解即可．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠BAD=∠DCF=90°，
在△ADE和△CDF中，

AD=DC ∠BAD=∠DCF=90° AE=CF

，
∴△ADE≌△CDF（SAS）；

（2）AH⊥ED．
理由如下：如圖，∵△ADE≌△CDF，
∴∠1=∠2，
由平移性質(zhì)，∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∵∠3+∠4=∠BAD=90°，
∴∠1+∠4=90°，
∴∠AGD=90°，
∴AH⊥ED；

（3）∵正方形ABCD的邊長是2，E是AB的中點(diǎn)，
∴AE=

1

2

×2=1，AD=2，
∴ED=

AE2+AD2

=

12+22

=

5

，
∴S_△AED=

1

2

AE•AD=

1

2

ED•AG，
即

1

2

×1×2=

1

2

×

5

•AG，
解得AG=

2 5

5

．

點(diǎn)評：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平移的性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積，（3）利用三角形的面積列出方程求解是常用的方法，要熟練掌握并靈活運(yùn)用．