Question

已知：直線l的解析式為y=

m

8

x+m（m為常數(shù)，m≠0），點（-4，3）在直線l上．
（1）求m的值；
（2）若⊙A的圓心為原點，半徑為R，并且⊙A與直線l有公共點，試求R的取值范圍；
（3）當（2）中的⊙A與l有唯一公共點時，將此時的⊙A向左移動（圓心始終保持在x軸上），試求在這個移動過程中，當直線l被⊙A截得的弦的長為

8

5

11

時圓心A的坐標．

Answer 1

分析：（1）可將點（-4，3）代入直線l的解析式中，求出m的值．
（2）⊙A與直線l有公共點，則圓與直線l相交或相切，求此時R的取值范圍，就必須求出圓心到直線l的距離．過A作AD⊥直線l與D，設直線交x軸于B，交y軸于C，有直線l的解析式，可得出B，C的坐標，那么就有了OB，OC的長，根據(jù)勾股定理就能求出BC的長，根據(jù)直角三角形ABC的面積的不同的表示方法，可求出AD的長，即圓心到直線L的距離，然后根據(jù)圓與直線相交或相切，則圓的半徑≥圓到直線的距離．
（3）可過A作直線L的垂線，有被截得弦的長度，有圓的半徑，那么圓心到直線的距離就能求出來了，然后根據(jù)直線l與x軸的夾角的正弦值，用圓到直線的距離求出AB的長，然后根據(jù)B點的坐標即AB的長，求出A到原點的距離，從而求出A的坐標．

解答：解：（1）根據(jù)題意，得：3=

m

8

（-4）+m，解得：m=6．

（2）直線l的解析式為y=

3

4

x+6，如圖（1），設直線l分別于x軸，y軸交于B，C兩點．
令x=0，得y=6；令y=0，得x=-8．
∴B，C坐標分別為B（-8，0），C（0，6）．即AB=8，AC=6．
在直角三角形ABC中，BC=

AB2+AC2

=10．
過點A作AD⊥BC于D．
∵

1

2

AD•BC=

1

2

AC•BD，
∴AD=

24

5

．
又直線l與⊙A有公共點，即l與OA相切或相交，
∴R≥

24

5

．

（3）當（2）中⊙A與l有惟一公共點時，⊙A與l相切，
∴R=

24

5

．
將該圓向左移動直線l被⊙A截得的弦的長為

8

5

11

時，設截得的弦為DE，那么DE=

8

5

11

，
過A作AF⊥DE于F，根據(jù)垂徑定理EF=DF=

4

5

11

，
直角三角形AFE中，AE=R=

24

5

，AF=

AE2-EF2

=4．
直角三角形CDO中，tan∠CBO=

OC

OB

=

3

4

，因此sin∠CBO=

3

5

．
直角三角形FBA中，AF=4，sin∠CBO=

3

5

．AB=AF÷sin∠CBO=

20

3

．
因此，OA=OB-AB=8-

20

3

=

4

3

，
當A在B的左側(cè)時，BA′=BA=8-

4

3

，
即OA′=8+（8-

4

3

）=14

2

3

，
因此A點的坐標是（

4

3

，0）或（-14

2

3

，0）．

點評：本題結(jié)合了一次函數(shù)考查了直線與圓的位置關系，本題中根據(jù)直線的函數(shù)求出直線與坐標軸的交點，然后根據(jù)交點的坐標得出線段的長進而求出圓心到直線的距離是解題的關鍵．