Question

7．我們把函數(shù)A的圖象與直線y=x的公共點叫做函數(shù)A的不動點，如二次函數(shù)y=$\frac{1}{2}$x²-4x有兩個不動點（0，0）和（10，10）．直線y=m是平行于x軸的直線，將拋物線y=$\frac{1}{2}$x²-4x在直線y=m下側(cè)的部分沿直線y=m翻折，翻折后的部分與沒有翻折的部分組成新的函數(shù)B的圖象，若函數(shù)B剛好有3個不動點，則滿足條件的m的值為0或-$\frac{9}{4}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意①當(dāng)m=0時，新的函數(shù)B的圖象剛好與直線y=x有3個不動點；②翻折后的部分與直線y=x有一個交點時，新的函數(shù)B的圖象剛好與直線y=x有3個不動點兩種情況求得即可．

解答 解：根據(jù)題意
①當(dāng)m=0時，新的函數(shù)B的圖象剛好與直線y=x有3個不動點；
②當(dāng)m＜0時，且翻折后的部分與直線y=x有一個交點，
∵y=$\frac{1}{2}$x²-4x=$\frac{1}{2}$（x-4）²-8，
∴頂點為（4，-8），
∴在直線y=m下側(cè)的部分沿直線y=m翻折，翻折后的部分的頂點為（4，8+2m），
∴翻折后的部分的解析式為y=-$\frac{1}{2}$（x-4）²+8+2m，
∵翻折后的部分與直線y=x有一個交點，
∴方程-$\frac{1}{2}$（x-4）²+8+2m=x有兩個相等的根，
整理方程得x²-6x-4m=0．
∴△=36+16m=0，
解得m=-$\frac{9}{4}$，
③m＞0時，新的函數(shù)B的圖象與直線y=x最多有2個不動點，不符合題意．

綜上，滿足條件的m的值為0或-$\frac{9}{4}$．

點評 本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，根據(jù)翻折的特征求得翻折后的部分的頂點坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．